1樓：ZRZRZR
（本文並非從嚴謹的角度解釋，而是用於幫助理解）
偏個題。現在按照你不明白為什麼錯的那個邏輯，我們來「求」一下圓錐的體積。
考慮乙個等腰三角形。我們先用三角形的底和高給其套個矩形，很顯然，三角形的面積是矩形的 。
我們讓三角形和矩形共同沿軸線轉一圈，得到的就應該是乙個圓錐和乙個圓柱。
關鍵來了——按照你上面的邏輯，由於三角形佔矩形的 ，圓椎也應該佔圓柱的 。
那麼圓椎的體積公式就應該是 了？
事實顯然不是這樣子的。根據一些基礎的實驗、立體幾何或微積分就可以得出，圓錐的體積公式應該是 ，這裡就不證了。關鍵是，為什麼如此呢？上面的邏輯到底錯在哪？
思考這個問題的時候，本質上的思路是：
1.過圓心把圓柱切成許多份。
2.那麼這每乙份都是乙個稍微有點厚度的平面。
3.這每乙個平面的面積都切兩半。
4.那麼總的面積也就等價於切成兩半了。
第一步和第四步是很經典的微積分思想，是沒有問題的。關鍵在第二步和第三步，存在對微積分思想的誤用。
這時候，我們讓邏輯再慢一點。不要把切片抽象成平面，而是抽象成和它更像的乙個三稜柱。考慮我們不把切片切得那麼薄。
這時候你把剛才用來切兩半的那幾個點連起來得到乙個面，沿這個面切開，你會發現，其得到的兩個體有很懸殊的體積差距。
如果你仔細觀察，這正好是差了兩倍。不過這不是我們的重點。
考慮讓這個三稜柱再變細，你覺得能改變這個倍數差距嗎？顯然是不可以的，因為剛才我們觀察的結果經過證明，對任意的三稜柱都是成立的。現在問題就來了：
既然無論你讓切片多麼細，都不能讓小塊得到1:1的體積關係，只會讓體積關係趨於1:2，那麼上述的第三步就不成立了。
如果你沿水平面切片，看著上面的圖，你可以這樣理解：左下角的塊「分」到的體積，絕大多數是半徑小的那部分，其分到了所有的左邊那條線，而右上角分到了所有的右邊那個面。這不細講了。
我要說的呢，就是在切片的時候，我們要想清楚到底哪些誤差能省略，哪些誤差不能省略；哪些誤差是常數，哪些誤差是倍數，哪些誤差是高階無窮小。
現在把題主這個拿出來試試：
首先我們切片。球切出來的並不是半圓，而是兩個半圓組成的二邊形。
注意到，這個二邊形是紡錘形的。兩邊更細一些。接下來，把 對應的那條線畫出來，就一目了然了：
恰好佔據了最窄的那段。兩極的寬度與赤道的寬度的比例是不可忽視的。
這就解決了你的問題。
2樓：hope
因為是空間角，而非平面角
是球冠面積和球面積比值，而非弧長與圓周比值。
球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底．垂直於截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高．
球冠的面積等於截成它的球面上大圓周長與球冠的高的積S球冠=2πRh
具體推倒可用微積分。
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