1樓：阿列夫零
不知道題主指的是哪乙個版本的皮亞諾公理？我就說維基上的版本吧。
Peano Axioms
0是自然數（這條公理有不同的版本，從1開始）
任何乙個自然數 都滿足 （自反性）
任何兩個自然數 如果滿足 ，那麼也滿足 （對稱性）
任何三個自然數 如果滿足 ，那麼也滿足 （傳遞性）
任何乙個自然數 ，如果存在某個物件 滿足 ，那麼 也是乙個自然數（封閉性）
存在乙個後繼對映 ，把每個自然數 對映到它的後繼自然數
對任意自然數 ， （ 是單射）
(數學歸納法原理，有幾種等價的表述)
公理2、3、4、5事實上是對等價關係 的定義，相同的內容如今在公理化集合論其他地方定義了，所以現在多數對皮亞諾公理的描述是不包括這部分的。在公理化集合論中，自然數 和後繼對映 有著更加具體的（馮諾依曼的）定義：
我們把空集 簡記為
的後繼簡記為 ， 的後繼簡記為 ，依此類推
是的，你沒看錯。數字在這裡被形式化地定義為某種集合了！
那我們為什麼要費這麼多力氣做這種形式化呢？主要是避免數字成為一種無法定義的元概念。對於數學家們來說，不加定義，假設事先存在的元概念，只需要集合、元素和屬於就夠了。
以下句子是否能替代皮亞諾公理的第五條？
Chuck 我認為是等價的。但是題主所給出的 的定義太難用。我們嘗試用分層遞迴的方式來定義之。前四條公理已經告訴了我們0以及 後繼 具有了什麼性質，並且現在我們的手頭上有乙個集合N，我們來定義乙個N上的大於關係，之後再加入 題主的第五公理 N的結構就將被固定下來。記對映滿足 構造集合 並且 令二元關...
皮亞諾公理的第二條所說的後繼數有確切定義嗎？
為了保證推理能最大限度避開直觀干擾，幾何學中的點 線 面的名詞可以換成杯子 椅子 桌子，這些名詞本身指什麼不重要，只要符合同樣的公理，也應該得到同樣的定理。後繼當然可以解釋為 1.不過，如果你願意，也可以把負整數視為自然數，那麼後繼就成了 1.一般把自然數建立在集合論的基礎上，空集解釋為0，解釋為1...
每一條遊進珠江的魚，都終結在黃沙
復讀。原因如下 小馬過河，誰說的更準確？無疑是裡面的同學說的準。而且那個學校的學生普遍都學習不好，那麼就沒有學習的環境，試想 同學們都在拿手機打王者榮耀，你坐在教室學習就是另類，同學們都學習不好，那老師也要照顧大多數學習不好的學生，會把講課難度降低，這樣就沒法和那些尖子學校的班級比，人家都講真題了，...