1樓：劉醉白
上一位答主已經說得很好了，我也說一下我的思路，可能繁瑣一點。
含么交換環 如果是主理想環，那麼 的素理想由乙個素元生成，素元是不可約元，而主理想環中不可約元生成極大理想，所以主理想環的素理想是極大理想。又含么交換環 的極大理想是素理想，所以含么交換環 如果是主理想環，那麼 的極大理想和素理想是等價的。
又主理想整環的商環是主理想環，所以 的商環 是主理想環，從而 的極大理想和素理想是等價的。
或者根據下面的也可以得到：
劉醉白：近世代數Zm素理想和極大理想怎麼具體算（m分合數，質數），比如Z18,Z13？
所以的大根（即 根，所有極大理想的交集）等於的小根（所有素理想的交集）。
而小根是冪零元理想，所以求 的冪零元理想即可。
設 是 的冪零元，那麼 ，
設 ，那麼
所以對任意 ， ，有
所以 ，所以
所以冪零元理想 ，
另外 ，
設 那麼 ， 是冪零的，
所以冪零元理想 ，
也就是 的大根（ 根）。
2樓：格羅卜學數學
[根基的定義]的所有極大理想的交.當 時, 的全部極大理想為 . 所以 .
當 為素數時, 是域, 它的全部極大理想為 . 所以 .
當 為素數的方冪時, 全部極大理想為 . 所以 .
當 時, 全部極大理想為 所以 .
當 時, 全部極大理想為 所以 .
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