1樓：BigGT
我看了題主給的鏈結裡的原文，感覺應該沒有很複雜。如果有乙個adjunction （+blabla條件），那麼 。現在考慮 ， ，即範疇 上的monad和endofunctor的category，那麼，其中的 就是free monad。
所以說 上的monad就是free-monad()這個monad的monad-algebra。
2樓：「已登出」
感覺作者是想說 Monad is action of a cat on set:
action in nLab
action of a category on a set in nLab
感覺主要是因為 monad 的 monoid 性質
3樓：張智浩
看起來這句話是想湊個文字遊戲的感覺。本來我是給這句話斷句都不能的，但是看了看題主自己的回答，好歹是知道啥意思了。我沒仔細看文章，主要是 Haskell 確實不懂（雖然曾經想要學一學）。
目前已有的答案其實已經說得比較清楚了，我這就補充一些細節之類的吧。但是為了完整性，還是寫得正式一點，也算是自己的乙個總結。
（但寫完才發現關鍵的證明細節我也沒寫，畫圖追圖什麼的太繁瑣了；我就寫了下大致思路和一些關鍵點，應該能跟著走下去）
零、開篇隨便說兩句
一、Monad 差不多就是伴隨函子
二、什麼時候伴隨函子的 monad-algebra 「是好的」
三、為什麼 free-monad monad monad-algebra 是 monad
首先假定讀者知道 monad 是什麼，當然為了完整性我們還是重複一下定義：設 是乙個範疇，那麼 上的乙個 monad 就是乙個三元組 ，有時也省略後面兩個自然變換而只用第乙個函子 來標記。
也可以用另一種等價的方式來表述：考慮所有 的函子和它們之間的自然變換組成的範疇 ，這是乙個 (strict) monoidal category，那麼其上的 monoid（或者也叫 algebra）就是 monad。
但這種說法除了看起來「厲害」一些之外並沒有顯得特別有用——如果是這樣的話，我們豈不是只要研究 monoidal category 就好了，為啥還要研究 monad？（但事實上到最後我們還是會用到這個說法）
（2023年更新一波：這個厲害的說法還有進一步的版本，即乙個 monad-algebra 其實是這個 monad——視為函子範疇裡的代數——在原範疇——視為函子範疇的左模——裡面的左模。以前我覺得這些說法除了看起來厲害意義不大，但現在我的看法可能會有一些變化：
它告訴我們表示論無處不在。或許我們暫時不知道從這種說法能直接得到什麼，但僅僅是把 monad theory 和表示論聯絡了起來，我覺得這就很不得了了）
我也說不出很多東西來，但至少 monad 與伴隨函子有很密切的聯絡。前兩節主要（試圖）澄清這一聯絡，第三節回到 free-monad monad monad-algebra 的具體問題上。
主要參考文獻是 Emily Riehl 的Category Theory in Context，基本前兩節是照搬這本書。
（為了好看，以下態射的復合用 而不是 來表示；此外很多交換圖很難畫，所以我乾脆乙個都不畫了）
設 是兩個範疇而 是一對伴隨函子。作為例子，我們可以考慮 是集合範疇而 是某個代數結構的範疇，比如帶點集合、么半群、群、阿貝爾群之類的，然後 是遺忘函子而 是自由函子。
作為伴隨函子，我們有 unit 和 counit 的自然變換，即 和 。神奇的是，我們立馬可以從這裡得到乙個 上的 monad：定義 ，然後 就是上面伴隨函子的 ，而 就定義為 （雖然這個記號可能有些奇怪）。
換句話說，如果我只是「站」在 上來看，那麼 上的東西是看不到的，這兩個函子也看不到，但上述三者是可以看到的，它們構成乙個 monad。於是乙個「自然」的問題是：我從 和這個 monad 出發，可以把 和這一對伴隨函子給恢復出來嗎？
所謂 monad-algebra 的概念算是部分回答了這個問題。
Definition.設 是範疇 上的乙個 monad，乙個 -algebra 是乙個二元組 ，這裡 是 中的乙個物件而 是 中的乙個態射，且滿足
從 到 之間的 -algebra morphism 是乙個 中的態射 使得 。
這樣得到的所有 -algebra 的範疇記為 。顯然有遺忘函子 把 送到 ，而另一方面有自由 -algebra 函子 把 送到自由 -algebra 。（這兩個函子在態射上的作用比較顯然，不寫了）
神奇的事情發生了：這一對函子 是一對伴隨函子，並且這一對伴隨函子產生的 monad 就是 本身。
證明不太困難，簡單說一下：我們只需要找 unit 和 counit 驗證即可，這裡 unit 就是 自帶的 unit，而 counit 就由 給出。
可以簡單驗證一些簡單的例子裡面這些 monad-algebra 是什麼。正如另乙個答案所驗證過的那樣，集合-阿貝爾群之間的 monad 產生的 monad-algebra 就是阿貝爾群。同樣一開始說過的那些代數結構的例子都可以驗證一下，其 monad-algebra 都回到代數結構本身。
此外，那一對伴隨函子也是我們所期待的自由-遺忘伴隨函子。
於是自然會想：也許 monad 其實就是伴隨函子，我們已經知道伴隨函子能產生 monad，並且 monad 通過 monad-algebra 也能產生伴隨函子，那麼這是不是「一一對應」呢？
上面已經回答了一大半了，剩下的問題是：我有一對伴隨函子，它們產生的 monad 再產生的 monad-algebra 的伴隨函子，和一開始的那個伴隨函子「一樣」嗎？當然了，要比較兩個範疇或者函子是不是「一樣」，總要給出函子或者自然變換才行。
這裡神奇的事情又出現了：從 到 有唯一的函子與已知的伴隨函子交換。從唯一性不難得出這個函子把乙個物件 送到 ，然後簡單驗證一下即可。
所以問題就變成了：這個 canonical 的函子是否是等價？
Remark.這個 也叫 Eilenberg-Moore category，還有另外乙個類似的 Kleisli category ，其萬有性質是從 到 有唯一的函子與伴隨函子交換。不過這裡似乎用不上，就不細說了。
當然這個函子不一定是等價了，如果是等價的話， 豈不意味著 monad 和伴隨函子「的確就是一樣的」，那為啥還要研究 monad 呢？（不過大概也不能直接這麼說）
所以按照慣例，對「好的」給個定義，然後去研究什麼時候是「好的」。
Definition.如果這個 canonical 的函子是等價，那麼一開始的伴隨函子稱為 monadic 的。
所以問題變成了：什麼樣的伴隨函子是 monadic 的呢？不過這只是把一開始的問題換了個說法，其實問題還在那裡沒變。
讓我們先去看另乙個（也出現在本問題描述中的）問題：為什麼說 monad 表達了「生成元和關係」？
用生成元和關係來表達乙個代數物件是一種常用的手段。比如要表達乙個群，並不需要把所有群元素和乘法表給寫出來，這樣太麻煩了；一種辦法是給出其中某些元素（生成元）和它們之間的乘法等式（關係）。舉個例子：
對於二面體群 ，只需要找到兩個元素 （旋轉 ）和 （相對於某一固定軸線的映象對稱），那麼所有群元素都是它們的乘積；這兩個元素滿足關係 ，且這樣的描述唯一（同構地）確定了這個群。比如代數拓撲一開始就會計算某拓撲空間的基本群，這種時候要描述算出來的群基本上只能這麼描述；對於拓撲空間的上同調環也是類似的。這樣的描述方法也出現在阿貝爾群、模或者別的地方。
我們把上面的說法用更 categorical 的語言來表述一下：對每個群 ，可以把它寫成某個自由群 的商，即有滿射 ；只要我們知道其 kernel 當然就能決定 了，或者更一般地，得到某一正合列 ，開頭的對映並不必須是單射。類似的在模論中能看到乙個模的 (free) presentation。
當然在一般的範疇裡面不一定有零物件，所以不應該說 (co)kernel 而應該說 (co)equalizer。所謂「monad 表達了生成元和關係」，就是說這裡有一種 canonical 的「生成元-關係」表達。具體來說：
Proposition.如果 是 上的乙個 monad 而 是乙個 -algebra，那麼有 中的 coequalizer 。這裡的雙箭頭是兩個態射 ，而右邊的態射是 。
這裡直接驗證也可以，而另一種辦法是這樣的：首先在 的作用下把這個 coequalizer 打到 裡面，會發現這能延拓成乙個 split coequalizer，那麼只需要說明 這個函子具有某種特別（複雜）的性質即可——粗略來說就是能把 中的某種 split coequalizer 拉回到 中的 coequalizer。
Definition.乙個函子 能夠 create coequalizers of -split pairs 的意思是：如果有 中的一對態射 且在 中能夠把 延拓為 split coequalizer，那麼能在 中將其延拓為 coequalizer，且用 打過來同構於給定的 coequalizer；此外所有在 中打過來是指定的 coequalizer 的圖都一定是 coequalizer。
這個事情我說得很複雜，所以建議大家都去看看書或者維基百科或者 nLab，畢竟我在這裡十分彆扭地說幾句很難說明白。
Theorem.一對伴隨函子 是 monadic 的當且僅當 creates coequalizers of -split pairs。
這個定理就終於回答了上一節的問題。
到這裡其實原先的問題已經很明確了：給定範疇 ，其上所有 monad 的範疇 到 有自然的遺忘函子 ，其左伴隨函子 （如果存在）則被稱為 free-monad 函子；自然地，這一對伴隨函子給出的 monad 就稱為 free-monad monad；於是這個 monad 對應的 monad-algebra 就稱為 free-monad monad monad-algebra。
原命題說 free-monad monad monad-algebra 就是 monad，這就是在說遺忘函子 是 monadic 的。怎麼證明呢？當然是用上一節的定理了（雖然我沒有說怎麼證明）。
我們來說個更一般的命題：
Proposition.設 是乙個 monoidal category，其上所有 monoid（或者叫 algebra，不要與 monad-algebra 相混淆）構成範疇 ，如果自然的遺忘函子 有左伴隨函子，則它是 monadic 的。
這當然能推出上面的命題了。作為特例，集合範疇 和其上的 Cartesian product 構成了 monoidal category，而 就是么半群的範疇。其實只要看過集合-么半群的 monadicity 證明，一般的 monoidal category 這裡的證明也是一樣的。
我們簡單說一下這個證明。首先要明確究竟要證什麼，因為那個定理和定義顯得有點複雜。假定有兩個在 中的態射 ，且在 中有 split coequalizer ，我們需要證明的是：
能夠在 上給出乙個 algebra 的結構
使得 是 algebra morphism
在 中 是 coequalizer
實際上給出第一點之後，後面兩條就比較容易驗證了。首先 unit 當然是由復合對映 給出的。為了給出乘法 ，注意到任何函子都保持 split coequalizer，所以有 coequalizer ；因為 都是 algebra，所以乘法就給出了前兩者向 的態射；接下來由 coequalizer 的萬有性質就給出了 的態射。
為了驗證所有的 algebra 的公理，只需要從 是 algebra 的公理出發畫交換圖，並注意到 coequalizer 是 epimorphism 即可。
當然說了這麼多，其實不自己操作一番大概也不知道我說錯了沒。範疇論的證明大抵如此，不自己去畫畫圖或者看人追一下圖，還是很難理解證明本身的。
不過這裡還遺留了乙個問題：函子 的左伴隨存在嗎？這個似乎也不大一定，還是得看具體的範疇來決定。（到現在我還是不太會判斷乙個函子的伴隨函子是否存在）
順帶可以說一說另乙個構造：如果在 monoidal category 中存在 coproduct 並且張量積保持 coproduct，那麼可以定義 ，加上適當的自然變換得到乙個 monad。顯然自由么半群或者張量代數都是這麼構造的。
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