1樓：格利亞貓
這個...我的方向（計算/理論神經科學）裡數學無處不在。
樓上的一些把一比較成功的數學模型（描述神經元電位差的 Hodgkin-Huxley 模型，2023年得了諾獎）和相對較為現代的 linear-nonlinear-Poisson (LNP)都講過了，我就從兩個方面談談數學在神經科學裡面的應用吧。
乙個是建模類的。H-H模型是個現象級的模型，並不怎麼涉及神經元電位差具體是怎麼保持的。但是後來的 Goldman-Hodgkin-Katz equation 直接用了神經元細胞膜內外滲透壓和電場力相抗衡的原理，計算出了在不同的鈉離子、鈣離子、氯離子濃度下細胞的電位差。
這個等式對於神經元的電位差是如何保持和傳導的有非常重要的意義。除此以外，對於單個神經元內部的電訊號傳導，還有 infinite cable theory （用偏微分方程描述乙個電訊號在神經元軸突上的分布）、compartmental model等等。但是神經科學裡數學模型最多的，恐怕還是網路和迴路層面的吧。
在神經網路方面，傳統的研究方向都是由圖論帶動的。在這類模型裡，乙個神經網路的神經元可以看做是乙個有限的圖，神經元之間的連線方式可以通過這個圖的鄰接矩陣（adjacency matrix）來描述。對於一些比較基本的圖，比如 Erdos-renyi graph，一些基本的神經網路特性有很好的分析解。
除了圖論，
另一類，也算是和建模相關的，就是神經科學裡面的數學分析。例如研究感覺系統時乙個重要的問題就是神經系統如何處理感覺訊號和噪音。在這方面，巨集觀上資訊理論非常有用。
通過研究視覺訊號、噪音和神經系統的統計特性（比如，噪音是不是 white noise），用資訊理論就可以計算出神經系統工作效能的上限，以及神經元最佳的編碼策略。在「微觀」上，統計物理/熱動力學的手段就非常多了。比如，在滿足一些特定的條件下，乙個神經網路的可塑性變化和乙個遵循 Ornstein-Unlenbeck隨機過程隨機運動的粒子非常相似，因此可以用 Fokker-Planck equation來描述。
在這方面我覺得使用的比較多的是概率論/測度論、隨機過程、實數分析、泛函分析（在資訊理論的一些問題裡要用泛函分析做最優化），還有一些我不知道怎麼分類的東西（傅利葉變換、拉普拉斯變換、最優化...）。用到這些數學的分支，其實也只是研究複雜系統的時候自然而然的事情。
神經系統是非常複雜的，因而數學的廣泛應用也是情理之中。我這裡對數學的理解是盡可能狹義的，如果算上統計學那大概可以寫五本書了。
2樓：
微分方程，隨機過程，資訊理論，統計學等都有很多應用
據說浙大那邊有一位研究泛函的老師在弄fmri，還弄得不錯
有時間再寫寫初淺的應用好了，上面提到的幾本書我都看了，手頭都有pdf
3樓：
有本《mathematics for neuroscientists》，書的結構就是圍繞著神經科學中的問題建模和分析。
還有一本《theoretical neuroscience》，個人比較喜歡這本，內容更加連貫。
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