1樓：姜小白71
圖1：紙彎曲示意圖
彎曲能的表示式可寫為（為抗彎剛度），
邊界約束為 。
考慮拉格朗日乘子 ，對能量方程進行變分，
結合邊界條件 ，可得到，
約束條件為 。
為了在數學上處理更方便，取特徵長度 ，特徵力 ，將方程(1)無量綱化，可得到
以及邊界條件 ,約束條件 ,其中 .
下面採用攝動展開法進行求解，根據對稱性，可將方程(2)的解寫為 的級數形式，
將上述兩式代入方程(2)，考慮邊界條件和約束條件，可逐次求得方程的解
完整寫出來就是
不過一般我們用的是 座標,因此方程的解可寫為,
這結果到底對不對呢，我也隨手做了乙個實驗，如圖2所示,
圖2: 實驗示意圖
根據實驗結果,可知引數為 以及，其實這倆就夠了。根據這兩個引數，計算得到紙的形狀為，乍一看還挺像的，
圖3：計算結果
最後我們把它跟實驗結果進行對比,
圖4: 對比圖(藍色虛線為計算結果)
可以看出，即便是這樣隨便做的乙個實驗，結果都是吻合良好的，並且這個實驗非常簡單，只需要測出兩個長度就可以了，感興趣的同學不妨動手試試。所以令人震撼的永遠不是數學推導，而是數學推導結果就這麼輕易地跟實驗結果對上了。
【2019.10.5更新】
感謝 @乙隻橙小果 為我送上的自動拱紙機，非常實用。。。
【參考文獻】
林家翹. 自然科學中確定性問題的應用數學[M]. 科學出版社, 1986.
Audoly B, Pomeau Y. Elasticity and geometry: from hair curls to the nonlinear response of shells.
2010[J].
2樓：
總勢能=抗彎剛度帶來的彎曲應變能+紙張撓度引起的自身均勻載荷。
總勢能是依賴紙張撓度曲線及其二階導數的泛函，拉格朗日量是：抗彎剛度乘以y''(x)/2，減去均勻載荷乘以y(x)。
紙張穩定則勢能泛函應該取駐值，即其一階變分為0，把拉格朗日函式代入拉格朗日方程，邊界條件取：y(0)=y(L)=0，=y'(0)=y'(L)=0就行了。
解出來應該正比於x(x-L)……
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