如何證明泊松分布的間隔時間符合指數分布？

1樓：

故障次數服從泊松分布，如果的單位是小時，那的意義就是每小時故障的平均次數。需要注意的是，通過泊松分布只能知道乙個時間段內事件發生的概率，不能知道具體某乙個時刻事件發生的概率，如果在乙個具體的時刻，相當於時間段，因此在乙個具體時刻，故障發生的概率為零。

設在某一時刻發生了第一次故障，則在時間內沒有出現故障，可以看成在時間內沒有出現故障，即故障次數為零，記這個事件為，其概率為

假如在時間發生了第二次故障，同理在時間內沒有出現故障，記這個事件為，事件一定只能在事件發生的條件下才能發生，應當按照條件概率來計算，為

其中為在時間內沒有故障發生的概率，這裡已經可以看到指數分布的無記憶性了。上式意味著從任何乙個故障時刻（故障之後立刻修好，修好之後仍然服從指數為的泊松分布）開始觀察元件，元件壽命（不出現故障）大於的概率為，那麼原件壽命小於的概率如下

這也就是指數分布的分布函式，也即泊松分布的間隔時間服從指數分布。元件的壽命的期望值為

這個問題看起來可能又一點奇怪，但實際上它為很多觀測提供了解釋。比如在這個實際問題中，它回答了為什麼當元件在時間內平均故障次數為時，就是元件壽命的期望值，這看起來好像是顯然易見，但這件事情其實是可以得到嚴格證明的。類似的問題還有衰變粒子的平均壽命、粒子的平均自由程等。

2樓：冬日的向日葵

如果兩個故障之間有間隔時間 t ，就等同於 t 之內沒有發生任何故障。

由於t時間內發生故障服從泊松分布，單位時間發生故障的次數為u，則f(x(t)=k）=(ut)^k*e^(-ut)/k! ，當此時n=0，則f(x(t)=0)=e^(-ut)(ut)^0/k!=e^(ut)

3樓：郭玉貴Gui

如果我沒理解錯，題主想說的是故障次數v(t)服從引數為u而非ut的泊松分布，因為引數為u才能證明接下來的指數分布。

證明過程如下：

先證T1分布

P(T1>t)=P(N(t)=0)=e^(-ut)T1服從exp(u)，得證

再證T2(T3等類似T2)

P(T2>t|T1=s)=P(在(s,s+t]內無故障出現|T1=s)

=P(在(s,s+t]內無故障出現) #泊松分布的無記憶性=P(N(s,s+t)=0)

=e^(-ut)

T2服從exp(u)，得證

T3等同理，定理得證