1樓：tlxx
題主的疑問大致可分為兩部分，即為什麼這樣和為什麼不是那樣。
首先回答第乙個問題：
想要解答這個疑問，首先我們應該從如何求解斜漸近線這個根源入手。
設曲線 ,直線 。如果 是 的斜漸近線。顯然，在無窮遠處兩個函式無限接近的充分必要條件就是取 時兩者取值相等。
那麼根據此斜漸近線的定義就有
在分式上下同除以x
即顯然分母等於A。
把A乘到右邊就有
而A是直線y=Ax+B的斜率。
其次讓我們來思考一下為什麼題主所給的後乙個條件不行：
首先對於可導函式f(x)(感謝斧正)
想象一下如果是導數的極限等於A的話，那麼求積分後 伴隨著常數 的變化應該有無數條，雖然每條曲線最終將隨著 增大越來越與直線 平行，但是顯然有無數多條曲線是與之存在距離的。
如果對於上述仍然有所疑惑，我們不妨嘗試將這個問題用函式極限定義描述一下：
已知求式子寫出來其實就已經可以看出一些問題。
首先在已知條件裡當 居於無窮大的條件下對兩邊積分
可得常數C是任意的，所以如果僅僅憑藉這個已知條件光是這裡就無法說明 與 「緊貼」。
其次如果 ，顯然從幾何上來說兩者是「緊貼」的，此時確確實實 是 的斜漸近線。但是要怎麼確保 呢？
事實上只要確保
就可以了。
仔細看看，是不是很眼熟？沒錯，就是一開始寫的式子。到這裡可以說，兩種方法殊途同歸，最終其實都回到了乙個地方，只不過是第二種方法繞了一大個圈子罷了。
綜上所述，我們其實可以說，題主所給的前乙個條件是後乙個條件的充分不必要條件，後乙個條件最終需要前乙個條件來確保。在這裡我非常欣賞題主的思考，因為多數人在書上看到定理後只會強記，好一些的可能會去了解相應的證明。但我始終覺得，數學不只需要前人的引導，更要有自己的思考。
不僅要知道這是什麼，還要知道為什麼這樣，更要想想為什麼不是那樣。
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