1樓：於季侃
稠密、無限這兩個性質很迷人，長度的概念是自然的，是先入為主的，暫不用懷疑。咱需要反思的是一一對應這個關係的意義，一一對應關係沒問題，長度不一樣也沒問題，說明這兩者沒有必然關係，也就是說「個數」多少，不代表長度的多少，至少連續的線段和曲線是這樣。接著反思其他情況兩者的關係，非連續的、或有限點集有「長度」的概念嗎？
有沒有「連續」的圖形無法於普通線段構成一一對應關係？如何定義長度的概念，使它符合直觀的感官（可加性等）？
2樓：小周周的爸爸
這個題非常有意義，代表對點、線、面的樸實直觀認知昇華到數學、邏輯層面認知。這是從一般到抽象的學習進步。
題目本身有兩個概念：
1. 線段的點數。
2. 線段的長度。
如果把線段看成點集合，那所有線段都是點數「相等」的集合，這種「相等」就是集合中的等勢概念。
同時線段作為集合，其「長度」則為集合的測度。一般意義上我們說的長度就是勒貝格測度（當然還有其他奇奇怪怪的測度）。
3樓：空間之刃
搞那麼玄乎幹嘛，直接乙個問題：
線段上的點的數量是一樣的，為什麼長度可以不一樣？
這其實是一類問題。
最早有乙個問題：全體自然數和全體偶數哪個多？
一般會認為，當然是自然數多了，偶數只是自然數的一部分。但是轉念一想，自然數有多少個？無窮多個；偶數呢？也是無窮多個。這倆一樣多。
最早反思這個問題的人是康托爾。他首先提出乙個問題：我們是如何比較多少的？
比如兩袋小球，如何比較哪個袋裡球多哪個袋裡球少。
第乙個辦法就是數數，哪個袋裡球數字大哪個袋裡球多；第二個辦法是一一對應，從兩個袋裡各拿乙個球放在一起，再各拿乙個球放在一起……哪個袋裡先拿不出球就是哪個袋裡球少。康托爾認為，這兩個方法本質上都是一樣的，都是找一一對應關係，數字只是對應關係的中間媒介。
確定了有限量的比較方法，同理就可以比較無窮量了。比如自然數和偶數，自然數取n，偶數取2n，自然數就和偶數一一對應上了。所以，自然數和偶數一樣多。
同理可以證明，全體自然數和全體整數、全體分數、全體有理數都是一樣多的。
對於線段上的點也是一樣的，找一一對應關係。任意兩條線段cd，不論它們有多長，都可以調整角度放到ab兩條平行線之間。然後cd上的每乙個點都可以通過可以用ab之間的平行線建立一一對應關係。
所以，任意兩條線段上點的數量一樣多。
其實還可以證明，無限長的直線上的點的數量和任意長度線段上的點的數量一樣多。
但是，不是每乙個無窮都是一樣的。可以證明，線段上點的數量和全體自然數是不一樣的，線段上的點比全體自然數要多。
全體自然數的數量可以叫Ψ0，直線上的點的數量叫Ψ1。據說可以證明，Ψ0是世界上最小的無窮。不過我沒見有人證明過，質數是不是Ψ0個。
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