1樓：Unduloid
關於這道二重積分，筆者想了許久也沒有想出來。幾周前（2023年4月初）看到MSE上 Sangchul Lee 的解答，於是照著推了一下，發現過程可行。於是，筆者在其基礎上，進行了適當地修改，從而得到了下面的過程。
先打乙個預防針，筆者修正後的步驟中包含了不少換元法，而且這些換元法不是很容易能想到的（後文斜體標註）。
而且，此法不一定是最好的，但是過程還是比較優美的，故摘抄於此，以饗讀者。
另外，如有更巧妙的方法，望告知筆者。
限於筆者水平有限，不夠嚴謹的地方在所難免，期待讀者的批評與指正。
【2023年4月20日更新】
美國的克拉克森大學(Clarkson University)教授Lawrence Glasser給出了另一種解答，發表在西班牙語的期刊(La Gaceta de la RSME)上
【注】Lawrence Glasser正是Glasser's master theorem的發現者
今天翻Cornel Ioan Vlean的臉書時看到的
方法好巧妙！
記二元函式 ，考察其對稱性，發現
所以，二重積分的積分區域可以拆成相等的兩塊，即
（不易想到）接下來開始換元，換元的表示式為
則，二元函式 可化簡為
那麼，再求出變換的雅可比行列式
故雅可比行列式的絕對值為
那麼，積分區域 經過變換之後的積分區域為
構造二元函式 與 分別為
因此，有
從而，有
於是，再考察二元函式 , 及其偏導數 , 在區域 的連續性
① 當 或 時（其中 ），有
當 時，（其中 ），有
而僅有 時的 一部分落在 中；
② 當 時（其中 ），有 ;
而僅有 時的 一點落在 中；
② 當 時（其中 ），有 ;
而僅有 時的 一部分落在 中；
綜上所述，定義在 中且使得二元函式 , 不連續的集合記為區域 ，則
值得注意的是，由於
即在區域 上，二元函式 , 都是有界的，且屬於可去間斷區域，所以我們可以補充定義使其在區域 上連續。不妨將補充定義的二元函式記為, ，則
因為要保證在之後應用曲線積分的格林公式時，新得到的二元函式連續，所以還需要構造乙個含引數 的積分區域 如下
當然，可以驗證 與 在積分區域 上都連續的，因此之後應用曲線積分的格林公式是合理的。
（曲線積分的格林公式）若二元函式 , 及其偏導數 , 在有界
閉區域 上連續，則有
其中 是圍成閉區域 的邊界封閉曲線，取逆時針方向為正向。
再備用幾個不定積分與定積分（證明留給讀者）；；
；.就此準備工作完畢，一切就緒
接下來是將瑕二重積分化為瑕曲線積分，因此，積分區域變化的示意圖給出如下
而二重積分為
繪製出瑕曲線積分的示意圖
將 拆分成三部分，即 ，其中
那麼化歸結束，繼續~
塔塔開——
① 計算曲線積分 ：
由於線段 的引數方程為
則② 計算曲線積分 ：
由於線段 的引數方程為
則盼望著，盼望著，可算遇到求一元函式的瑕積分了
利用換元法（不易想到），作變換 ，則
根據倍角公式、萬能公式，有
因此由於
於是，利用備用的不定積分公式，有
利用分部積分法，有
又由於進而，有
再次利用換元（不易想到），作變換 ，則
由此可得
③ 計算曲線積分 ：
由於線段 的引數方程為
則（上述過程中也涉及到換元，但是相對先前的換元而言，此處的更為簡單）
④ 合而為一
那麼，有
完結撒花！ヽ(°▽°)ノ
筆者利用兩邊夾準則和控制收斂定理證明如下的極限等於乙個無窮限積分，但是過程極其繁瑣。
很早之前，筆者在貼吧看到過一些類似的問題，現在分享給讀者：
1. （吧友」愛佛費克斯「的積分習題1.103）
；2. （第四季積分競賽第30題）
；Vlean C I. (Almost) impossible integrals, sums, and series[M]. Springer, 2019.
P252. §3.53
3. （第七季積分競賽第85題）
；4. （第九季積分競賽第33題）
；5. （AMM.#12070）
；其中，前四道都能在貼吧找到解答，☆懂★的☆都★懂☆，故此處不再累述；第五道解答如下圖：
2樓：
類似的技巧可以處理: 其中是Catalan常數，而是Apéry常數。
這還有道稍容易的題，如A Trigonometric Double Integral。
印象中還見過一些別的涉及圓函式的重積分，不過實在是想不起來了,,,,
這個能不能求出來
弱小可憐爆零蒟弱 既然標籤是初中數學，就提供乙個類似半形模型的做法，初三可看懂將 ADF繞A逆時針旋轉120度，D與B重合，得到 ABF 顯然EF 在直線BC上。延長DA，BC交於H，易得 H 60度，得到 EAF EHA，用含BE的式子表達出EF，即可求出最小值 4。求最值的方法屬於代數方法，有點...
用極限思想求出來的公式是近似的啊，積少成多不會成為錯誤嗎？
TRST 極限不是近似，是語法上的等價，意味著在極限等式兩邊的內容中間插不進乙個能夠把兩者區分開來的表述，這也就是delta epsilon語法的意思 這意味著你能用的任何語法都不能指出極限兩邊的差，因此極限兩邊的表述只能看作是等效的 sniperelite 首先，極限的定義 不涉及 積少成多。你想...
這個通項公式能求出來嗎？求助
通項我不會算，但極限可以求。假設 其中 由遞推公式可得 所以 滿足方程 由此方程，有，因此，這裡有兩個選擇。因為 的極限顯然不是0，如果每次都可以隨便選擇的話很容易讓數列不收斂。下面對如下特殊的選擇進行分析 對 定義 算術平方根 在這種選擇下總有 0,y n ge0 eeimg 1 現假設 2,y ...