1樓：
n為偶數時，正n邊形和正方形都是中心對稱圖形，對正n邊形做平移使兩中心重合，新的正n邊形依然在正方形範圍內(否則假設新頂點A'出界，那麼與A'相對的頂點B'，它在平移前的原像B一定出界，證明細節略去)。因此只需要考慮中心重合時的取法。
再者，想要正n邊形最大，至少要有乙個頂點在正方形邊界上，否則可以一直放大至觸邊。對偶數邊形來說乙個頂點其實就代表了一對頂點，也就是正n邊形有一條直徑的兩端都落在了正方形邊界上。要想正n邊形盡可能大，也就是要這條直徑盡可能長。
事實上，以6邊形為例，一共有三條直徑，我們現在的要求是一條直徑「觸邊」，另外2條不能出界，至多「觸邊」。假設另兩條都不觸邊，那麼除非現在這條直徑就是對角線(只有n=4才有可能，否則必出界)，否則都可以稍作旋轉使直徑更長，同時保持剩下兩直徑不出界。所以偶數邊形最大時至少要有兩條直徑同時觸邊。
就n=6而言，三條直徑中選2條只有一種方式(其他選法都是等價的)，所以結果一定是至兩條直徑與正方形同一條對角線各夾30°那樣，正6邊形半直徑長為sec75°，周長6sec75°。
其他偶數邊形的話，其實雙直徑觸邊已經把情況限制在有限種了，就是乙個計算題了。如果觸邊觸的是正方形的同一組對邊，那就是n邊形有一組對邊位於正方形邊上，此時必須n=4k(否則會像n=6那樣，有一條直徑平行於此邊，因太長而出界)，然後算一下;如果正方形四邊上都有n邊形頂點，那麼正方形中心+正方形相鄰兩邊上的n邊形頂點+這兩邊共用的正方形頂點，這四點要麼構成兩個全等三角形(從而直徑夾角被正方形對角線平分)，要麼四點共圓(從而直徑夾角90°，n=4k)，然後就是一堆的計算驗證比大小blabla。
對於奇數n，不會做。猜測是可以平移至共中心。證明這點之後就又回到了「正方形邊上至少有兩個n邊形頂點」的有限種情況上來了。
2樓：傻子.傻問題殺手
內切圓半徑為1的正方形晶格中，做乙個正四邊形，其周長為8.
內切圓半徑為1的正六邊形晶格中，做乙個正六邊形，其周長為4sqrt（3）。
引理一：
乙個正多邊形周長C1，內有另乙個正多邊形，周長C2，則C2必然小於等於C1。
所以，周長上限就是晶格本身的周長。
抱歉，我卡殼了，我發現引理一也挺難證明的，儘管看起來很顯然。
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