1樓：aleph
(嚴格單調函式的性質可參看BV類函式的性質)
僅提乙個有趣的點
需注意它甚至可以幾乎處處differentiable且derivative為0 所以不要把單調性想得太好了
2樓：塵月
單調函式這一類函式特有的性質，一般不是高等數學的考慮範圍。
高數對單調函式的運用是淺嘗輒止的，
並沒有把它和別的函式特別區別出來。
得到的性質非常有限，
大約和單調必有極限，以及導數的運用，以及作為反函式存在的依據這三樣脫不開關係。
但對單調函式而言，
還有一片更廣闊的天地，
在實變函式。
乙個函式如果可以表示成兩個單調函式的差，則稱它為有界變差函式。
有界變差函式是幾乎處處可導的。
進而還有很多很漂亮的成果，我不一一提及了，題主有興趣可以自行了解。
因為這部分比較難，我也沒法在不清楚題主知識水平的情況下三言兩語就講清楚。
所以大概就這樣了。
3樓：小奇奇奇怪怪
以單調遞增為例，「嚴格單調增加」與「單調增加」的區別是嚴格單調遞增對於x1>x2都有f(x1)>f(x2)。單調遞增對任意x1>x2，都有f(x1)>=f(x2)就差在乙個等號。我們平常所稱的單調基本上就是嚴格單調。
至於性質，嚴格區分嚴格單調和單調的，我就記得乙個，嚴格單調的函式與其反函式單調性相同……答主大一新生，不知道多少
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