1樓：
無窮小不是沒有（極限定義都要求 0" eeimg="1"/>就是這個意思），而是小到在做 **加減法** 的時候可以忽略不計。
很明顯無窮小不是零，所以相差無窮小的兩個數是不等的，但是差異可以忽略不計，差距要多小就有多小。
仔細觀察下開區間的的閉包邊界點，就是這個麼情況。
找乙個大於0的最小實數，永遠都寫不出來的，這就是無窮小。
2樓：
看了題主延伸後的描述，這是個有意思的假設。
在實數定義上，一實數無限趨近於另一實數，即這兩個實數之差無窮小，則這兩個實數相等。
上面的結論可以用數列收斂證明，證明過程就不在這寫了，數學分析中可參考。簡單說，這種方法可以證明0.9999...迴圈等於1。
但實數的另一性質，即題主提到的稠密性，規定：
設任意兩實數a，b，且a這就表示，在0.999...與1之間必存在乙個有理數，既大於0.999...，也小於1。
這個理解起來其實很簡單，只需要在0.999...的「最後一位」後面添上隨便乙個數就好了。
按照數列極限方式理解：
0.999可以看作r=1至∞的（9/10^r）的求和，r在無窮大時（9/10^r）趨近於無窮小。要加上的數，也就是兩數之間的c與較小的數a之間的差，就是此數列中較（9/10^r）的高階無窮小。
說白了，這個問題在極限的思維方式下就很簡單，但用初等數學的思維方式思考類似的極限問題就很難了。
3樓：楊楓
對於小數形態，相等
對於[0,1)與1，可以在前集合找到實數x使得1-x小於任意給定實數。x這時候不是1。
如果定義無窮小為(數列)極限，那麼兩個數也相等。
4樓：「已登出」
很不錯的想法。如果你學習了自然數，整數，比例數，實數等數系是如何定義的話。
那麼你會發現，你所提出的"兩數之差"並不準確，應該是"兩無窮數列"之差(也就是每個數由乙個無窮序列構成)在經過N步驟之後的每一項之差是否小於任何大於零之數(有點無窮小的意思，但並不是)
稍加嚴謹化，此思路還是可以的。
5樓：stevefan1999
這在計算機科學計算裡是一半對的，因為浮點數準確度有限，所以要用近似查詢，也就兩者的差在乙個可接受的範圍內（譬如σ=0.0000001)則假設它們相等。
但這對現實數學可不適用了。10和10.000000000...01是同乙個東西麼？
6樓：洪武ea
看如何選擇基域了
相等，如果數是實數域裡的元素：實數對加法構成交換群，差也是實數，而無窮小不屬於實數(在經典分析裡，無窮小是乙個數列或者函式和乙個數的有序對，非經典分析中可以把實數域在序域意義嵌入到超實數域，而無窮小不能落在像裡)。這樣一來，由簡單的一階邏輯，條件恆假，命題恆真。
不相等，如果是超實數域裡的元素：就是那個利用濾子之類來定義的序域，含有無窮小和無窮大的實數域的超越擴張。那既然差了乙個非零元，倆數當然不等啦。
不過說起來我們也可以把超實數域的無窮大剃掉，無窮小商掉，就又得回實數域了，如果把實數看成這樣的商域，那也是相等的
你們看，這種純粹是定義問題，並沒有什麼非平凡的東西…
7樓：吾即Night
lim→+0(x)和lim→+0(2x)的差算是無限小了
代數意義上相等，牽扯到其他方面可能就不相等了
比如d2x/dx這時候就是2了
8樓：呆萌蠢
有限位相等既推不出相等也推不出不等
這是從有限的角度來看的
你想說的是這兩個做差，這個值很小
所以他們的差是無窮小趨近於0的所以他們相等但是值很小不等於無窮小
再小他也是乙個確定的數
實數集裡兩個元素相等的充要條件是A–B=0不等於0的，差再小也是兩個元素
9樓：雲山亂
這個問題問的是有意義的。就是如果乙個只能執行有限次的演算法無法區分兩個數，那麼這兩個數一樣麼？
但是證明方法用的不太妥當。這個直接反證，如果不相等，那麼一定存在乙個常量a，使得這兩個數較小的加上a比兩個數較大的小。取q使得10的負q次方比0.
1a小，那麼兩個小數的小數點後第一位到第q位必定不可能完全相同。矛盾。
這個問題屬於只用實數的稠密性就能解決的問題。相對於這個問題而言，如何定義小數才是極限理論應該考量的，才是無窮大無窮小應該涉足的地方。
10樓：鍵山怜奈
剛開始想說非標準分析裡兩個數差距為無窮小則兩個數「近似相等」，結果點開問題一看忽然發現題主限定了乙個集合A叫作「純小數的集合」，使得這個問題一下子變得有趣多了。
首先說明一點，在實屬範圍內如果兩個數的差距是「無窮小」，那麼兩個數數相等的。這句話有兩種理解，一種是標準分析的理解1，兩個數的差距小於任何實數，則這兩個數相等。另一種是非標準分析的理解，然而非標準分析內又有兩種理解。
一種理解2.1是考慮實數域本身，則實數域中的無窮小有且只有0，因此兩個數的差距是無窮小意味著兩個數的差距是0，因此自然相等。另一種理解2.
2是考慮超實數域與嵌入其中的實數域，雖然這時無窮小已經不止有0，但是不同實數的差距一定不是無窮小，因此差距是無窮小的實數一定相等。
當然，在非標準域內兩個數差距為無窮小並不代表兩個數相等。但是問題並沒有就此結束。問題真正有趣的地方不在這裡。
接下來進入正題。
「兩個純小數如果任意有限位相等，那麼它們是否相等？」這是一句很簡單的話，但是它沒有意義。要想用數學手段來分析這個問題，我們首先必須明確它在數學意義上指的是什麼。
什麼叫「純小數的集合」？在這個問題上會發生第一次分歧。一種觀點可以是小於1且大於等於0的實數全體，一種觀點可以是函式 的值域全體。
當然，在實數範圍內這兩個集合是相同的，可是到了超實數域內則有可能出現問題。
第一種觀點移植到超實數域內是很簡單的，我們用 表示超實數域，並用 表示將乙個可定義集合 移植到超實數域內後所得到的集合，也就是說如果存在性質 滿足 ，那麼 ，此時觀點1所定義的純小數集合就是 ，這個定義很樸素，仍然表示大於等於0小於1的超實數全體。這時我們知道兩個超實數之差是無窮小並不代表它們相等。
然而第二種觀點若想移植到超實數域內，則出現了困難。如果我們試著將其像之前那樣移植入超實數域，則會出現以下的結果：
是個什麼東西？我們知道一般的求和函式會寫成 ，這時我們總能將其寫成有限和的形式。特別地，由於實數域的確界性質，如果以上的和式在自然數上有界，那麼它的上確界定義了 ，可是到了超實數域裡 又是個什麼東西？
它看起來像是在描述一堆超實數的和，但是事實上超自然數集是不可數集，不可數個非0實數之和是一定發散的，那麼不可數個超實數之和有可能收斂嗎？
解決這個問題就需要非標準分析的知識了，不過簡單地說，我們仍可以像之前那樣，把乙個函式由標準實數域移植到超實數域，並且一切在標準實數域上成立的性質在超實數域上仍然成立。最終我們會知道，任何乙個超實數也可以唯一地表示成為無限小數的形式（這裡要求小數不能以無限個0結束），只不過這個無限小數的位數是不可數的。並且，當然，就算兩個「非標準無限小數」的「標準有限位」相等，它們也並不一定相等，因為它們的「無限位」可能是不相等的。
但是它們一定「近似相等」。
說了這麼多到頭來看起來好像什麼都沒說。所以其實我就是來安利一下非標準分析而已。
最後補充乙個佯謬。非標準分析證明了，實數域上成立的命題在超實數域上一定成立。我們知道，任意兩個實數如果它們的差距是無窮小，那麼它們一定相等。
根據傳達原理，任意兩個超實數如果差距是無窮小，它們也必然相等。然而這變相地說明了無窮小等於0，這難道不是矛盾了嗎？
事實上問題在於，無論是在實數域還是在超實數域內我們都無法判斷乙個數是否是無窮小，更沒法判斷乙個數是否是標準實數。只有當我們處於乙個更大的域時，我們才可以用 x)\}" eeimg="1"/>將無窮小從非標準域中分離出來。
非標準實數域只不過是乙個不標準的實數模型而已，它的本質還是實數模型。正因為我們在乙個更大的模型之內，所以我們才能發現非標準實數域的有趣之處。
11樓：子牙
首先不存在兩個數的差是無窮小的情況，兩個確定的數的差是確定的，不是無窮小，雖然可能非常小，無窮小一定涉及乙個過程，是動態的。如果兩個量的差是無窮小，這兩個量任然可以不等。對於你的問題，數學上有個引理，如果兩個數的差的絕對值小於任意的數，則這兩個數相等。
證明也很簡單，如果不相等則，根據數的稠密性總可以插入第三個數，則可以得到這兩個數的差的絕對值大於另乙個數，與前提不符合。
12樓：Tal·Rasha
1.兩個數的差一定是乙個確定的數，不會是乙個無窮小量
2. lim x -> 0 x^2 -x 他們的差是乙個無窮小量
但是他們不想等
13樓：鍋淨
題主還是在用有限的思維在思考無限。就像我剛開始學實變函式的時候一樣。題主可以再體會一下希爾伯特旅館問題和康托爾集中無窮的含義。
你假設兩個數不同，那麼至少在某一位小數字上的值不同，所以你假設兩個數在某乙個小數字上|a-a'|≤9/x，當存在差異的小數字位數足夠大時，你認為這裡的x就是無窮大，你寫作9/∞，這就是矛盾點。這是從有限的思維和經驗，例如0.09-0.
01≤9/100，0.0005-0.0002≤9/10000得來的。
首先我們得像實分析中那樣用對於任意實數ε＞0，總存在M使得M大於ε這樣的形式來表述無窮大，這樣嚴格推導下來你一定會發現你的問題。我這裡試著用白話來講下直觀一點的理解。
實際上「差值只出現在小數字數無窮大處」的表述是有問題的，實際上，我們只能說在有限小數字上存在差異，或不存在差異。你說的「差值只出現在小數字數無窮大處」，這就是不存在差異，否則我請你指出差異之處，這下你發現，如果一旦去「指出」，那麼必定差異存在於有限位數上，如果不「指出」，又說明不了差異在哪兒，不論差異在哪兒，你總能發現你要反駁「無差異」則只有指出在有限位數上存在，否則，兩個數是毫無差異的。看出問題所在了嗎？
你用有限情況下的思維去思考關於無限的問題，你總覺得「在小數字數無窮大的某處存在差異」這樣的表述是可以的，至於小數字數多大是可以不顧的，無窮和乙個特定的某處是矛盾的，你在無窮中是永遠找不到某個特定的點，找到了就是有限的，因為你是數過去的。
大數除法，用相減的思路，如果兩個數差距很大，會很慢，能否加以改進？
海鵬 此時需要參考高德納大神在TAOCP卷2中介紹的任意精度整數除法演算法 經過我的測試，實現128位整數除法，x86 64平台下此演算法接近於直接使用udiv硬體指令 pdf到處都是，如果不想自己寫的話，可以直接使用boost.multiprecision庫 郭忠明 演算法 是 用簡單的加減法 移...
兩個整數相除，如果除不盡，那麼商一定是迴圈小數，為什麼？
GimmeMana 假設是a b，你去算小數的過程就是，那你每一次除法算完那個餘數一定是在0 b 1之間。這個餘數你經過補0之後再算下一位小數是什麼。如果是除不盡，也就是無限迴圈小數，那就沒有餘數是0的情況。因此你最多算b 1次，這個餘數就迴圈了。餘數迴圈了就說明結果也就迴圈了。 曉生 這是乙個很有...
如果兩個物體接觸，距離為0，那麼萬有引力豈不是無限大？
萊瑞蕾 已知r代表距離 不難看出當 這其實是最簡單的奇點，但是這個是錯誤的，因為 不會成立，2個fermion不能處在同乙個位置，參Pauli exclusion principle 另外除了引力之外，還存在三種力 分為強核力 弱核力和電磁力 不需要考慮是否存在其他作用力，也不用考慮微觀上是否真的可...