1樓：
不成熟的理解，只看奇偶性，逆序數=通過對換變成恒等變換I的次數=對應置換的不相交輪換的個數（參考李炯生和rotman）。優勢可能是使得前面關於正負的表示和座標連貫，變得整齊。
2樓：Asdo
我的文章：行列式的定義究竟是怎麼來的？ - wayw的文章 - 知乎 https://
zhuanlan /p/76
526424
3樓：圖騰
行列式就是「體積伸縮率」
對於乙個n維空間到n維空間的線性對映T來說，det(T)就是T把體積伸縮的倍數。當然這裡的體積是有向的。這就是行列式最原始的意義。
對於乙個線性變換T，如果它在變換的過程中完全沒有損失任何的資訊，那麼我們就可以通過變換後的資訊還原出變換前的資訊，因此我們就說T是可逆的。
T對應的伸縮率為0意味著它把方體的體積變成0了，也就是說T把方體壓扁了。這意味著本來不同的很多點被壓成同乙個點了，因此就相當於丟失了資訊，從而我們知道T是不可逆的。這就是為什麼行列式可以作為可逆的判據。
既然知道了意義，我們希望找一些方法來計算這個伸縮率，而逆序數的定義正是乙個用來顯式計算伸縮率的表示式。
4樓：Progressist
對於一般的線性代數教材，很多都是直接用逆序數定義的行列式。我學習線代最初的教材就是這麼講的，也是看得一頭霧水，直到後來學習了藍以中的高等代數簡明教程，才真正理解。
首先是從平行六面體的幾何例項得到的啟示，n階方陣A的行列式應滿足如下基本性質：
行線性與列線性.如A不滿秩，行列式為0.如A為單位矩陣，行列式為1.
定義行線性函式和列線性函式：
定義反對稱的列（行）線性函式：
從反對稱自然能推出行列式的初等變換性質：
定義行列式函式：
從定義再匯出行列式函式的唯一性：
轉置矩陣行列式的性質：
行列式函式是反對稱的行線性函式：
這裡先引入排列和逆序數的概念（後面的證明可以看出為什麼要這麼定義）：
定義det（A）：
證明det（A）就是唯一的行列式函式：
其實從這個定理的證明過程就可以看出，要滿足最先開始假設的行列式函式三條基本性質，自然能想到行列式函式要滿足這樣的形式（各項乘積之和，再帶個符號），這就產生逆序數的概念了。再由唯一性，這種形式就是行列式函式的最終定義了。
上述各命題、各定理的詳細證明可以參考高等代數簡明教程這本書上冊的第三章。
5樓：
解多元一次方程組的時候，通過觀察符號湊出來的…拋開線性空間，逆序數其實是對對稱群結構的觀察行列式有很多種定義方法，初看可以拿來判斷乙個交換環上自由模的自同態是不是同構，也可以想象成n個向量張成的體積來方便理解，也可以看成外代數的算術
上面這樣內蘊一些的定義也是很漂亮的
多了解一些行列式的應用也很好，比如蒙斯基定理，jiang-clifford定理，galois理論啥的…
另外現在計算器可以算四階行列式，大家考工科線代的時候可以帶進考場…
6樓：
逆序數可理解為一組標準正交基 ，其置換 經過兩兩交換變回 本身，需要多少次數，其中是 的乙個任意排列.
n階行列式的乙個幾何的解釋就是n個n維向量張成的有向平行多面體的體積，比較公理化定義為，行列式可看作多重線性函式：
滿足如下性質：
(1)反稱性： 即交換任意兩列，行列式變異號；
(2)線性性： 即det對每一列是線性可加的；
(3）規範性：
現在任給一組基的置換 , 用表示將 通過兩兩交換變成標準正交基 需要的次數。給 下個定義，稱其為逆序數。
接下來，分三步來考察下逆序數在行列式計算中所起的作用：
Step 1利用反襯性和規範性，計算 的行列式如下
第乙個等號利用了性質(1)的反稱性，即每兩兩交換一次需變號一次，一共交換了 次；第二個等號利用了性質(3)的規範性.
上面給出了逆序數在計算一類簡單行列式時的作用, 各列是標準正交基的置換，即 。接著可考察下情形。
Step 2若有 則
證明：因此，
現在來考慮一般方陣的行列式，來觀察逆序數在行列式的計算中如何起作用。
Step 3對一般的n階方陣
設 , ,則
證明：----按第一列展開
----再按第二列展開
----全部展開
對於 出現 的情形，根據Step 2，
其餘的 兩兩不等，從而是 的乙個排列， 根據Step 1，。
因此 可見，逆序數的出現是因為行列式的反稱性這一性質。它在計算一組基的置換 的行列式時發揮重要作用。而形如 的計算又是計算一般方陣 的行列式的基石。
7樓：鄂梨
不知道我理解的對不對，題主想問的是逆序數定義在整個線性代數理論體系中起到什麼作用？
我們先來回顧一下相關定義，在乙個排列中當某兩個元素的先後次序與標準次序不同時，就稱這兩個元素構成一組逆序（兩元素不一定相鄰）。而逆序數就是乙個排列中所包含的逆序的個數。逆序數為偶數的排列稱偶排列，逆序數為奇數的排列稱奇排列。
逆序數在行列式中最重要的乙個應用是行列式的求值。
可以說，線性代數的整體研究思路是從特殊推廣到一般，而行列式作為其中的開篇章節，求值又是其核心問題，為什麼逆序數有著如此重要的乙個應用，卻還常常讓人覺得突兀呢？
提到行列式求值我們通常首先想到對角線法則，長這樣（以三階行列式為例）：
對角線法則很經典，但其致命弱點在於它僅適用於
二、三階行列式，也就是說這只是乙個技巧性法則而非真正的計算法則，為了全面的解決行列式求值問題，我們需要乙個更具有普遍適用力的公式。
觀察可知，上式中包含六項，每一項都是元素 的三次乘積，且每一項中 都構成排列123， 的取值範圍也是（1,2,3），3種不同的元素共有 種排法，根據每一項中 排列的逆序數奇偶性來決定該項的正負號，項中 呈偶排列，該項取正；項中 呈奇排列，該項取負（其實是根據 排列的逆序數加 排列的逆序數的和的奇偶性來決定每一項的正負號，但是式中 為自然排列，逆序數為0）。根據這些觀察到的資訊可以將上式寫成如下形式：
式中 表示對1,2,3的所有排列帶入後式求和， 表示由1,2,3所組成的排列的逆序數，其n階推廣形態如下：
對於這一假設的證明過程就先在此略過，事實上它強大、優美、無懈可擊。
綜上，由於本科階段接觸的、需要手算的通常是低階行列式，遇到四階行列式也可以用拉普拉斯展開定理進行降階，或用行列式性質造零化為上（下）三角行列式，後再使用對角線法。也許前期在做章節練習時還會有個別題目考到這個抽象算式，但隨著行列式鋪墊完畢，進入到矩陣和向量的主篇章，這一略顯複雜的知識點無暇再被提及，事後再回想起逆序數時，難免讓人覺得它與整個線性代數理論體系是脫節的。
8樓：玟清
行列式定義 -> 反交換性質 -> 逆序數
重要的不是逆序數本身，而是逆序數的奇偶性。這種反對稱性在數學中大量存在。
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