1樓：AfterPhilosophy
也來答乙個最近比較關注的方面。。在次黎曼幾何上，Figalli 和 Rifford 等人解決了3維解析流形上的 rank 2 分布的強 Sard 猜想 (arXiv:1810.
03347).
這裡我們需要對次黎曼流形上測度的定義作一點說明，考慮 regular point ，growth vector 在其鄰域上為常數，Mitchell 1985 年的乙個結果給出了 處的 Hausdorff 維數，自然我們可以定義相應維數的 Hausdorff 測度。
早在 1995 年，Zelenko 和 Zhitomirskii 就證明了, 對於3維流形中通有的 rank 2 分布，強版本的 Sard 猜想成立：singular 曲線可以達到的集合 Hausdorff維數最多為1，區域性上它是有限條光滑曲線之並。這篇文章在流形是解析的條件下證明了強 Sard 猜想，並且進一步給出了 singular 曲線的正則性 (它是由若干條解析曲線段拼起來的)。
2樓：汪湜
The marked length spectrum of Anosov manifolds
解決了「區域性版本」的長度譜問題。這是微分幾何和動力系統領域的乙個重要猜想，關於猜想的具體內容，我在2023年年初寫的文章裡有詳細的描述，
汪湜：非正曲率空間上的幾個問題
簡單來說就是：如果乙個流形的兩個負曲率度量擁有一樣的長度譜（所對應的閉測地線長度都相等），那麼這兩個度量一定等距同構。而Guillarmou--Lefeuvre證明了乙個弱化版本：
如果這兩個度量足夠接近，並且長度譜一樣，那麼它們一定等距同構。
他們的文章是2023年6月掛在Arxiv上的，剛好那個暑假我合作者訪問我，我們花了幾天時間研究了下證明，發現一共20頁的文章前10頁都是專家熟知的內容，然後後面幾頁突然就證出來了，加上文章裡有好幾步我們都看不明白，所以有所懷疑便沒有繼續讀下去。我記得當時我跟我合作者說：等這篇文章發表在Annals上後我們再讀吧。
沒想到「一語成讖」，剛剛跟我合作者Skype的時候得知這篇文章早已在去年發表在Annals上，心有所感，便上知乎上來答了這題。看來是時候該認真的讀一讀這篇文章了。
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