1樓：三川啦啦啦
感謝大佬邀（釣）請（魚）.
我們一般所說的展開，是指的是可展曲面，例如柱面、錐面；而球面是沒辦法展的，即「不可展曲面」. 那麼「可展」是怎麼回事呢？
高斯大神很完美地解決了這個問題：他發現凡是可展的曲面，它的高斯曲率為零，反之亦然. 更近一步，他定義了所謂第一基本形式
而可展曲面的第一基本形式都可以通過等距變換（不改變第一基本形式）而化為 ，也就是平面上的歐氏度量，當且僅當它的高斯曲率為 . 而對於一般的曲面，充其量只能化為 .
所以找到這個等距變換，我們就可以將這個可展曲面「展開」——映為平面.
高斯曲率，就是曲面在一點處的兩個主曲率的乘積 .
微觀上，高斯曲率為零，就意味著至少有乙個主曲率為零，也就是說在此方向上本來就是「直」的，所以將與之正交的另乙個方向「掰直」就好了；兩個正交的方向都是直的，區域性上它就是一塊平面. 而且這個掰直的過程不會影響前者的曲率始終為零. 於是乘積永遠是零.
也就是說，其中乙個主曲率為零，給另乙個主曲率的變化帶來了極大的自由——這就是可展的原因.
但是對於非可展曲面，即高斯曲率不為零，你想將其中乙個主方向掰直，另乙個主方向也會跟著變化，乙個想變直，另乙個就變得更彎，因為要保證兩者乘積不變. 最終，你哪個也別想掰直.
越說越覺得奇怪……
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