1樓：吃瓜的觀望者
給乙個done right作者axler的回答。
R的本質是complete ordered field
但是有理數和有理數上定義的加法乘法所產生的有理數集Q只能使得Q是乙個ordered field，也就是有序關係的乙個域(域對乘法加法滿足那八條性質，序就是定義了《關係)
完備的意思是對乙個ordered域F，任意乙個F的子集，若有上屆，則一定有最小上屆(即數分中的確屆存在原理)。如果有上屆卻沒最小的上屆那麼這個有序域就不是完備的。顯然有理數域就不完備
在繼續進行前我們需要說乙個結論: 任意有序域都包含Q，或者說都可以找到乙個子集和Q一一對應(Q是最小的有序域)
戴德金分割定理說明的其實是:
任意給定乙個有序域，我們都可以生成乙個完備有序域。
戴德金分割本身就是上述結論的構造性證明: 用乙個和有理數域一一對應的有序域Q'生成了乙個完備有序域。由於任意乙個有序域都包含和有理數域一一對應的部分，所以乙個有序域一定能生成乙個完備有序域。
那麼我們給定Q一定能生成乙個完備有序域，這個域還包含Q，那麼我們就用戴德金的構造方法生成的完備有序域起個名字叫R。
當然既然是構造就有其他構造手段，這裡需要說明不同構造手段形成的完備有序域都是乙個玩意就行了。
Q生成R只是有序域生成完備有序域的乙個特例罷了。
截止到這個部分可能大家還是覺得很不直觀~~~
我們先解釋一下完備性吧:
完備性是指對乙個度量空間X，如果這個度量空間中的任何乙個柯西序列都收斂(到X自己本身的元素中)，則這個度量空間是完備的。
Q和R比就是不完備的，我們可以很輕鬆的取一組Q的序列使得這個序列的極限是無理數。即Q的這組柯西序列是不收斂到Q本身的元素的。完備性要求收斂到自己本身的元素。
對於Q這種點集分布非常稠密的集合，給它賦予完備性時會讓Q直接填滿每乙個Q之間元素的空隙。
再來看標準數分教材上的戴德金分割定理(和我上面說的構造性證明有區別但是是乙個意思): 切一刀如果是有理數那麼我們就定義了R上的有理數，切一刀如果是不是有理數那麼我們就定義了R上的無理數(切不到有理數也就是我們找到了一組有理數柯西序列沒有收斂到有理數上)。這個做法就是把Q中元素所組成的序列可能形成的所有極限點都納入了Q這個集合，從而使得Q得到擴充。
樓上用rudin中的敘述說戴德金分割本身就是實數，是因為R的本質就是完備有序域，你隨便生成一組完備有序域都和R同構，而全體的戴德金分割是可以組成乙個完備有序域(定義戴德金分割的序關係和加法乘法運算就行了)
2樓：MAN
簡單說，戴德金分割就是把實數集R分成兩個連續的、沒有重合的集合，A∪B=R, A∩B=。用區間表示則為兩個區間：乙個開區間，乙個閉區間，例如A=(-∞，a)，B=[a，+∞)，A+B=(-∞，+∞)。
兩個區間的分界點a是唯一的，分界點a就是確定唯一的實數。例如:實數集R，有理數集Q，無理數集P。
1、在有理數上劃分(表示式中沒有無理數)
A=，B=得到
(-∞，√2-1) ∪ [√2-1，+∞)，分界點(√2-1)不是有理數
2、在無理數上劃分(表示式中沒有有理數)
A'=，B'=得到
(-∞，2) ∪ [2，+∞)，分界點2不是無理數。
3樓：龍靜顏
把有理數集按照課本上說的那種手段，分成兩截的做法，有很多很多種，多得比有理數的個數還多得多。 然後我們把每種分割方法，定義成一種叫做實數的東西。 然後又定義了實數的加減乘除法，然後，實數就在有理數的基礎上建立起來了。
重要的是，實數個數比有理數個數多得多得多！
4樓：予一人
假設目前我們只知道有理數。我們把所有有理數按如下要求裝入集合 和 ：
任一有理數必屬於 之一；
中的每乙個有理數都大於 中的有理數。
這樣操作的對有理數全集的分劃 就稱為戴德金分劃。顯然，在此分劃下就會出現三種情況：
中有最大的數， 中無最小的數；
中無最大的數， 中有最小的數；
中無最大的數， 中也無最小的數。[1]
前兩種情況屬於存在「界數」的情況，為了明確起見，我們約定，若某個分劃存在「界數」，就總把這個「界數」放在 中，於是就可將這兩種情況歸併為一種；至於第三種情況，則屬於不存在「界數」的情況。
如此，每乙個戴德金分劃都唯一地「定義」了乙個實數：有界數的，就是定義了這個作為界數的有理數，無界數的，則定義了某個不屬於有理數的新數，我們稱之為無理數。
容易推知，實數就和戴德金分劃形成雙射關係，每乙個實數對應乙個分劃，不同的實數對應不同的分劃。
這就是用戴德金分劃來定義實數的邏輯。
5樓：無悔客
6樓：shinbade
戴德金分割，是為了給無理數乙個定義。
我們觀察一下有數軸，因無理數到處肆虐，把有理數弄得千瘡百孔。
怎樣由已知的有理數，去定義這些無理數呢？戴德金想了乙個辦法：就用這個無理數前面的有理數，以及這個無理數後面的有理數。
這兩段有理數，把我們要定義的無理數夾在中間，就形成了戴德金分割。
每個戴德金分割都對應著唯一的實數，包括無理數（就是被兩段有理數「夾」住的那個點）。這是個完美的，有重大歷史價值的漂亮定義。
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