1樓：幽憶
對數的大小排序，有
a1小於等於a2小於等於a3。。。小於等於a2n＋1對於任意一位，均可配籌
剔除數記為aj
由排序不等式剔除aj後又有
a1＋a2+。。。＋an小於等於亂序和小於等於an＋1＋an+2+。。。＋a2n
任何情況等號成立
由排序不等式取等條件
排序的所有數除aj外均相等
對於aj，若aj不等於ai
將aj替換上式
取等條件破壞，不合題意，排除
故aj也等於ai
所以一切符合條件的實數均相等證畢
2樓：Yang Xu
想了個證明，對於係數矩陣 A 只要證明久期方程|A-a I|=0 中a^1的係數為奇數即可，發現跟 @張衝衝 的一樣，就不細寫了。不過我發現係數矩陣的本徵值都是正負成對的，請問誰能證明這一點？
3樓：綠皮恐龍怪
這個問題其實用一點點線性代數的知識還是比較簡單的從整數的情況開始
設總和是s，那麼就說明所有數同奇偶。
那麼可以把數同除2（或減一再除二）持續操作，必然所有數相等。
然後有理數情況，顯然。
然後是實數情況。
重頭戲線性無關登場了。
其中最大線性無關組有k個元素。那麼剩餘每個元素都可被這個線性無關組唯一表示。
然後只考察每個數對應於第1個元素的標量。
每去掉乙個數。都可將剩餘數分成2組。使得對應第乙個元素的標量和相等。那麼根據有理數情況，就相等了。
對k個元素都這麼搞。就做完了。
4樓：
令這2n+1個數同時減去它們中的最小值，你就可以得到0,a1,a2...a2n這樣一組數。不考慮0(畢竟0加了等於沒加)剩下2n個數，他們滿足
1.這些數可以被分成兩組和，每組n個，他們和相等
2.任意抽出乙個數，剩下的數可以分為和相等的兩組，其中一組有n個，另一組有n-1個。
也就是說，只要證明滿足以上兩個條件的2n個數相等(稱這個為命題1)，就可以輕易推出原命題。
現在我們再令a1,a2...a2n同時減去他們的最小值得到0,b1,b2...b(2n-1)
同樣不管0，此時我們只要證明「2n-1個數滿足任意抽出乙個數，剩餘數可分為和相等的兩組，每組n-1個數，則這些數相等」，就可以輕易推出命題1.
看出端倪來了麼？數學歸納法
其實我的證明有個缺陷，但只要再補上一步就對了，你能幫我補上麼？
5樓：Wall·E
答案是肯定的。
先考慮所有小朋友的體重是非負整數的情況：
1）根據題設條件，我們知道所有小朋友的體重，奇偶性相同。（why？都是11個人的總體重減去乙個偶數）
2）每個人的體重減去相同的數值，題設性質仍然成立；如果所有人體重都是偶數，那麼每個人體重除以2，題設性質也成立。
3）根據2）我們將所有人的體重減去體重最小者，此時性質保留，最小體重為0。
根據1），知道所有人體重都是偶數。再結合2），除以2仍保留改性質。
關鍵是，這一步可以無窮的做下去。說明，這個時候大家都是0。將這個約減的過程反過去，得到所有人體重相同。
再來考慮所有人體重是有理數的情況：體重乘以分母的最小公倍數，這樣問題就轉化為非負整數的情況。這時，結論仍成立。
最後，所有人體重是一般實數的情況。我還要想一想。
注，看了其他基於矩陣的證明，感覺這才是正道。
6樓：匡世珉
不少答主都提到了矩陣方法，證明關係對應的矩陣的秩是2n，所以零空間是全1向量張成的一維空間。我覺得我有個稍簡單的方法證明矩陣的秩是2n，不過我還是把解答完整寫一遍：
首先，由題知，在2n+1個數中去掉任何乙個數，我們都可以在其他數前加上正負號各n個，使之和為零。
於是，把這2n+1個數寫成列向量：，依次去掉，便可以得到乙個矩陣，其滿足，且的對角線元素是零，而其餘元素為正負一。
由於每行中+1與-1一樣多，所以全1向量在的零空間裡，所以其零空間至少一維。我們要證明其恰好是一維，也就是證明的秩是2n，方法如下：
考慮前2n行與前2n列構成的矩陣，稱其為；也是對角線為零且其餘元素為正負一的矩陣。所以的行列式模2的結果恰好是中矩陣的行列式，其中是單位矩陣，是全1矩陣。
注意到在中，，所以可逆，行列式為1，所以的行列式是奇數，不為零。
所以滿秩，秩為2n，於是的秩至少是2n；又因為的零空間至少一維，所以A的秩恰好是2n，零空間恰好是1維，所以零空間是由全1向量張成的一維空間。
由於在零空間中，所以這2n+1個數只可能都相等。
最後留一道習題：
全班一共50人，試證明一定可以去掉某個人使得剩下的49人不能被分為體重和相等的兩組。
證明留給讀者，答案略。
（我是想吐槽很多時候代數題目換個說法就變成組合題目了…）
那麼就這樣=w=
7樓：大衛.哈里發
wheeler 和張衝衝的方法：
乙個初等解法，乙個高等解法，都相當漂亮。
那我想問下，
如果題目改動下：
共有2n+1個實數，去掉其中任意乙個，剩餘的2n個數都可以等分成兩組，兩組數的個數不一定相同，但它們的和相等。
如：第一組：a1+a2+ak=S，第二組，a(k+1)+a(k+2)+.....a2n=S
這2n+1個實數還是必須相等麼？
8樓：
任取一數，剩下的分兩組和相等，將取出的數與兩組中的任一數交換，一組不變，另一組交換後由題設知和不變，說明取出的數與交換的數相等，取出的數可與任一數交換，說明所有數相等。
9樓：zhizhuowq
對所有數是有理數或者整數的情況，我有乙個很好的解答。首先，很容易證明對所有數進行同一形如ax+b的線性變換不會影響題目的條件和結論，因此有理數的情形和整數情形是等價的，所以只需要證明整數情形即可。對於整數情形，我們可以很容易證明這2n+1個數的奇偶性相同，不然，我們假設這2n+1個數中有k個奇數，1≤k≤2n，如果k為偶數，我們取出其中乙個奇數，則題設條件不成立(剩下的2n個數中有奇數個奇數，和為奇數，一定不能分成兩組和相等的)，弱k為奇數，則我們取出其中乙個偶數，也可以出矛盾，所以所有數的奇偶性必相同。
然後，第一步，對2n+1個數做如下變換:
所有數減去2n+1個數中最小的那個數，設得到的2n+1個數從小到大為a(1), a(2), ..., a(2n+1)，顯然a(1)=0。
第二步，顯然存在整數m，使得a(2n+1)<2^m，取b(k)=a(k)+2^m，則可知b(1),...b(2n+1)滿足任去其中乙個數，剩下的2n個數可以分成和相等的兩組，且每組n個數。且有b(1)=2^m≤b(k)<2^(m+1)，k=1, 2, ....
, 2n+1，所有b(k)為偶數。
第三步，對所有b(k)做除以2的變換，則得到的新數列第一項（也是最小的一項）為2^(m-1)，仍然滿足任去其中乙個數，剩下的2n個數可以分成和相等的兩組，且每組n個數，所以這2n+1個數仍然同奇偶。
那麼若m>1，則所有數都為偶數，第三步的操作可以繼續下去，該操作可以重複m次，直到第一項也就是最小的數變為1，得到2n+1個整數仍然滿足任去其中乙個數，剩下的2n個數可以分成和相等的兩組，且每組n個數，從而可知b(k)可以被2^m整除，又b(1)=2^m≤b(k)<2^(m+1)，k=1, 2, ...., 2n+1，所以所有b(k)都等於2^m，從而可知線性變換之前的2n+1個數全部相等
10樓：皇叔
原命題大家已經證明得很好了。這裡證乙個減弱命題：
如果把實數減弱為整數(有理數也一樣)，好像是鄂爾多斯發現的乙個定理。這裡用另一種方法解決。
首先證明這些整數的奇偶性相同。這是因為任意2n個數的和是偶數，所以2n+1個數的和與每乙個數的奇偶性相同。
設其中乙個數為k，將每個數減去k，k變為0，所有數均變為偶數。將這些偶數除以二，得到新的一組數。這些數仍然滿足題中性質。由於有乙個為0，故均為偶數。
將這些偶數再除以二，依然得到乙個0和2n個偶數。這樣的操作可以無窮進行，故其中不存在非0整數。也就是說，第一次變換以後所有的數均為0。
從而原來的2n+1個數相等。
11樓：張衝衝
睡前看到這個問題......覺得有點意思，本想泡個腳，然後睡覺的...然後靈感來了...
首先重述下題目：
2n+1個未知數，滿足：去掉乙個數,剩下的2n個數中，有n個數的和等於另n個數的和，問這2n+1個數是否相等。
分析：如果列出方程的話就是：
其中，表示個數去掉之後的個數的乙個排列.
將上面的方程變形下：
這表示乙個元方程組，將這個方程組寫成矩陣形式就是：
第i行的第i個元素是0，其餘元素分別是1和-1，每行有n個1，n個-1
將矩陣第2，3...2n+1列元素加到第一列，則第一列元素全為0，於是矩陣的秩小於2n+1
再看第2列到第2n+1列，第2行到第2n+1組成的型矩陣，這個矩陣主對角線元素全為0,其餘元素分別是-1或1，考慮這個矩陣的行列式.
此行列式的展開式中如果含有對角線元素，則其為0，否則其值為-1或者1
展開式中有多少個元素不為0？
第乙個是顯而易見的，看第二個，換乙個說法就是：
從的矩陣中選出個數，每行每列選出乙個，且第i行不選第i個數
這不就是著名的全錯位排列問題！（也稱裝錯信封問題）
乙個人寫了n封不同的信及相應的n個不同的信封，他把這n封信都裝錯了信封，問都裝錯的裝法有多少種？
應用這個公式：
可以看出除了最後一項是奇數（值為1），其餘項均是偶數。
所以是奇數.
回到上面的問題,行列式的展開式中，1或者-1的個數之和為奇數，於是此行列式的值必為奇數.
故行列式不為0.
綜上，原階矩陣的秩為,
也就是說，該方程組的解的秩是1，而是原方程的一組解，於是該方程組的任意乙個解為：
想出來這個問題就花了幾分鐘，打出來居然花了乙個多小時......
12樓：Reinhardt Jin
題述作法可以由乙個2n+1維線性方程Ax=x表示。
係數矩陣A的每一行均有n+1個1和n個-1，且主對角線元素全是1。
將原方程改寫為（I-A）x=0，則（I-A）主對角線全是0，且每行有n個1和n個-1，其秩為2n。故基解只有乙個方向。又知點（1,1，。。。
1）和（2,2，。。。2）均是解，則該基解方向可確定。
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這種情況下是不是n 1經濟補償金會大於2n經濟賠償金
張濤律師 你沒有搞清楚n 1到底什麼意思。n 1中的1，指的是用人單位合法解除勞動合同，但沒有提前30天通知，所以要多付乙個月工資作為代價。提前通知了，合法解除，經濟補償金是n，不是n 1。 雞湯牧師 先說答案 對的。n 1 和 2n 之中，n的取值區間為 0.5，12 且為0.5的倍數，所以，當且...