1樓：智商稅
勢能是保守場裡力對空間的積分。所以首先要回歸保守這個概念，也就是要回歸到第二型曲線積分。
設曲線 ，那麼二元對映 在曲線段 上的第二型曲線積分可以定義成（第一行適當借用了Riemann-Stieltjes積分的語言）：
如果二元對映 對於任何環線（即曲線滿足 ），都有 ，那麼稱 是保守的。如果 是力，那麼稱為保守力；如果 是某種場的強度，那麼這個場是保守場。
對於任何保守場 ，總是存在乙個勢 使得任何起於A，終於B的有向曲線 ，滿足 。保守力的相應概念就是勢能了。
因此，勢能是因力的保守性而具有的能量。乙個保守力屬於哪些物質，它的勢能就屬於哪些物質。比如，物體的重力是地球對物體的力，是保守的，所以「物體的」重力勢能就為地球和物體共有；靜電場中，電荷所受庫侖力是電場對電荷的力，是保守的，所以「該電荷的」靜電勢能就為靜電場和該電荷共有。
2樓：
通俗說，勢是無旋向量場的路徑積分。其完整定義如下：
對於乙個向量 滿足 定義乙個標量場 ，場中一點 對應的標量 且該標量場中一點 滿足則稱該標量場 為向量場 的勢。
為什麼可以這麼定義？滿足這樣條件的標量場一定存在嗎？能夠這麼定義的原因是：
首先 無旋向量場, 標量場 ,使得證明：
任意閉合曲線 上的兩點 把 分為 和 兩部分,分別記為 根據斯托克斯公式(Stokes formula)有 因為 所以 故 即路徑積分 與路徑 無關,即可定義乙個標量場 與場點 一一對應，滿足
其中 為給定參考點,既有 所以存在 。證畢。
那麼即 所以總可定義乙個標量場 即對： 無旋向量場 ， 標量場 滿足所以可以這樣定義。
而勢能嘛,就是指向量場 為乙個保守力場唄。
分子勢能嘛,就是保守力場是分子力場唄
至於你說的動能和勢能的關係我覺得你應該說的是機械能守恆定律。
機械能守恆定律並不是一定成立的，不像動能定理那樣。它只對不受除重力和彈力的外力作用下的系統成立。
可以說是乙個特別的守恆定律了。
對於對於彈簧彈力場 和重力場 都是保守力場。即分別有對應的勢能
保守力做功 是保守力場 對應的勢能。根據動能定理是動能，那麼有微分形式 即 為乙個常量，那麼可以定義機械能 由於 為乙個守恆量，所以稱其為機械能守恆定律。
中學階段你能接觸到的只有幾種勢能：重力勢能，彈性勢能，分子勢能，引力勢能，靜電勢能。
最具有代表性的肯定是靜電勢能和引力勢能，因為它倆滿足高斯定理
以電勢為例，設電場強度為 ,首先滿足電勢的定義： 其次它還滿足高斯定理，或者說是麥克斯韋方程組第乙個方程的靜電形式： 分別是電荷密度和介電常數。
所以 即泊松方程這就意味著，空間內給定標量場 那麼就能通過這個偏微分方程確定空間內電勢 的分布。同樣的，靜電場也被確定。(當然得先有邊界條件)
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