三分之一等於零點三三迴圈，而三分之一乘3等於一，用零點三三迴圈乘三卻等於零點九九迴圈？

1樓：Cuks

瀉藥首先，0.999...確實是等於一的，但是你所舉出的證明方法有缺陷，因此會造成主觀上的懷疑，也即反直覺。我認為缺陷主要在於三分之一等於0.333...是否正確。

還有一種方法如下:令a=0.999...

則10a=9.99910a=9.999...

則10a-9a=a=1 所以0.999...=1是不是很有道理？

但這種方法不對，因為無限極數並不能相加減。所以，很多看似用很簡單的辦法證明很驚異的數學結論（如所有自然數相加等於負十二分之一 →_→），並不是結論不對，而是方法錯了，我們要用更高層次的數學知識解決（可參見幾位答主給的方法）。

2樓：今天也在熬夜製圖

一句話回答版本：0.9999…=1，所以沒什麼稀奇的至於為什麼0.9999…=1，你思考一下，1.0000…=1。

這說明實數的小數表示，就是不斷把區間等分為10份的這個過程。

另一種看法，認為這個點是其左邊區間的右端點，同上，以後每一位都得是9，因此得到9迴圈的表示。

所以說，某一些有理數都有兩種表示法：0迴圈的和9迴圈的。我們為了方便，總是用0迴圈的那種。

我相信這是乙個高中生也能看懂的回答。事實上，等你學了更多的數學，你會知道糾結這些，其實不能給你許多新的思考，你需要嚴格地學習更多的數學。例如這個概念，你可以先了解一下什麼是度量空間，什麼是柯西列，什麼是度量空間的完備化，什麼是連續性的定義。

了解這些知識，都是很有好處的

3樓：三川啦啦啦

中學的時候，大家都接受不了上圖最後那行事實，因為這個問題太深刻，涉及到實數的本質，也就是所謂實數的完備性。用比較高深的觀點看實數，比如說實數1是什麼：就是以1為極限的所有數列構成的集合。

實數完備性不提也罷，我們還是用比較直觀的方法去論證吧（本質上還是極限）。我們先承認一事實：

不等的數之間總有其它數。比如0.5介於0與1之間，所以0與1不等。

如果我們把這個命題寫成它的逆否命題，

公理：兩數之間再沒有其它數，則兩數相等。

這個事實很顯然吧（雖然顯然不一定容易證明），接下來我們用這個公理去證明所求。

反證法：若0.9…和1之中有其它數，我們記為α，那麼有：

0.9<0.99<…<α<1

既然1大於α，那麼我們將兩者的差記為：

δ:=1-α>0

由假設，我們知道1與0.9…的差永遠都無法小於δ，

然而事實上：

我們發現，只要上面最後乙個不等式成立，1和0.9…的差是可以小於δ的，這和我們假設的矛盾，即1與0.9…之間沒有其它數了，所以由公理可知，1和0.9…是相等的。