1樓：能思想的葦草
設桿質量為m，長度為l，重力加速度為g，某時刻與豎直方向呈θ角，角速度為ω，
根據動能定理，可得：
得出一階微分方程：
其中 為微小擾動造成的角位移. 對 展開，
這樣微分方程就存在解析解了，先利用半形公式化簡，
兩邊同乘以 ,左邊
右邊 微分方程變為
設 時刻θ為90度，兩邊同時從0時刻到 時刻積分，經化簡得
可以再做一點近似
更新一種更優的解法.
把(1)式直接對 展開，得
同乘以 ，
即從0時刻到 時刻積分，
第二種解法的答案看起來比第乙個解法長，之所以仍然稱它為更優的解法，是因為它只做了一次展開，近似程度更高，並且答案的對稱性也更強了。
下面更新另一種情況. 上面考慮的情況地面足夠粗糙，杆只存在轉動，下面考慮地面光滑的情況。地面光滑時，杆水平方向不受外力，故質心的水平位置不改變，杆在繞質心轉動的同時向下加速運動.
先來列微分方程（下面的微分方程和上面都是用動能定理來列的，如果用牛頓第二定律加上轉動定理來列，方程是二階的，這樣方程要先降階，降階後的結果就是動能定理的結果，所以直接用動能定理列方程更方便.）
物體的動能有兩部分：轉動動能，平動動能
轉動動能：
平動動能：先來求質心速度v，這裡涉及牽連速度問題，杆下端速度和質心速度在沿杆方向的分量相等，杆下端速度在沿垂直杆方向的速度為 ,
即，平動動能為
動能定理：
即 方程過於複雜，有空再來處理.
2樓：
以前寫過乙個，直接掛鏈結好了（尺子和均勻木棒模型是差不多的）感謝 @TOAA 指出了錯誤，扔下ddl就去修改原文章了，現在回去肝ddl。。。
喳喳鳥：尺子也可以用來玩耍
算出倒下的時間？滑動前 ，滑動後 但是算出解析解有點困難（可能沒有解析解，我看到這麼長的積分式就放棄了），建議直接扔進MATLAB求數值解
3樓：程巖
跟 @TheNoob1100 是單方面cp，看他回答了我也來答一下，他算的是地面光滑的情況，那我來算一下不光滑的情況。
基本思路：將倒下過程分為兩段：底端未滑動和底端滑動，前段為簡單的數學擺，後者定義底端滑動距離x和傾角 為廣義座標使用拉格朗日方程基本形式進行求解。
勻質細木棒長度為L，質量為m，質心為A，底端為B豎直靜止於一動摩擦係數為 的平面上（最大靜摩擦力=滑動摩擦力）在初始時刻受到微擾獲得初始角速度 開始倒下，倒下過程中B始終位於地面上，木棒與地面均為剛體。以B原始位置為座標原點建立水平x軸（為表示方便畫的錯位了）。規定逆時針為正方向。
忽略空氣阻力。
本節中將求出地面對棒的摩擦力大小f、地面對棒的支援力大小 和分界角 。
對質心A的速度進行水平豎直分解：
水平方向上的速度大小為 （向右為正方向）。
豎直方向上速度大小為（向下為正方向）。
由質心牛二得：
水平方向上
豎直方向上
令 得得
即臨界角
臨界角之前就是乙個簡單的數學擺，規定逆時針為正方向。
初角速度
轉動慣量
力矩 角加速度
由能量守恆角速度
得先鴿，回頭再寫（累了，算不下去了）
4樓：呵呵呵
同志，這個桌面光滑嗎？
好吧我們認為它光滑。
顯然木棒僅受保守力，那麼這個時候就可以使用我們小學二年級學過的。。。
。。。哎！對！拉格朗日方程啊！
首先確定廣義座標，顯然在這個問題裡角度是乙個非常不錯的選擇，那麼記木棒與鉛垂線方向的夾角為θ咯。
下面就來表示我們的動能和勢能吧！
動能顯然是由平動動能和轉動動能組成的，轉動動能很好表達，直接就是平動動能我們用運動中的限制條件，稍微操作一下也能得到所以總動能自然就是
顯然這裡的勢能只包含重力勢能，而且也很容易表示：
那麼我們的拉格朗日量就是
接下來列出拉格朗日方程
一通計算猛如虎，發現非常的AMAZING啊居然有東西可以消掉。這是化簡後的結果
接著我們將我們在學前班就學過的轉動慣量帶進去，該約的約掉，得到也就是這樣我們就得到這個木棒的運動方程了！不好意思我不會解，可以交給電腦算一算。
接下來有時間我會試著解一下有摩擦的過程，解出來再更吧。
5樓：TheNoob1100
其實前幾天就寫了，不過結果是發散的，擔心錯了不敢發出來
不過看到其他人都得到了這個答案，就斗膽發一下吧
設木棒可以無摩擦地自由滑動
質量為 ，長度為 ，倒下時不會脫離地面（其實可以證明，就不單獨寫出來了）
那麼在它的傾角（指與豎直方向的夾角）為 時，質心的高度為
兩側對 求導，得到
（負號表示方向 在減小，或者說速度方向豎直向下，以防萬一提一嘴）
因為木棒在水平方向不受力，有
接下來上機械能守恆：
眾所周知
根據上面的分析：
那麼把所有東西丟到一起就可以得到
再然後就到了最後一步：
把正弦函式換成余弦函式，並令
(於是 )
上式就變成了
但是不難發現極限 在 時才存在，換言之積分是發散的
具體結果極大程度上取決於微擾的程度，就參考別的解答吧
嘛，接下來我也寫一寫帶摩擦力的情況好了，再設地面與木棒的靜摩擦因數為 ，同時假定動摩擦因數等於靜摩擦因數
先考慮滑動之前的情況，是乙個簡單的定軸轉動：
直接上機械能守恆：
注意這裡轉軸是木棒與地面的接觸點，應該有
於是 把木棒與地面開始相對滑動時的傾角記作 ，故技重施一次得到
不難想象：靜摩擦力一定要與木棒成鈍角，以提供質心做圓周運動的向心力
因此對木棒的切向和法向列的方程應該如下：
加之以轉動定律
搗鼓搗鼓得到：
因為我沒有畫圖建立座標系，負號的含義並不好解釋，總之它只代表方向
恰好發生滑動時有 ，化簡一下可以得到
有解析解麼？大概是有的，把它用萬能公式展開可以得到乙個四次方程，還是算了吧...
另一方面，用Geogebra畫一下 的影象可以發現，若 0.1852\cdots" eeimg="1"/>則木棒不會發生滑動，而若 小於這個範圍(當然要大於零)，都能取得合理的解
那麼接下來我們又碰了個釘子，總之由上式肯定能確定出合理的 ，在此就假定這個問題已經得到解決了
之後的過程我可能不會，或者只是因為現在好晚而懶得想，就先咕了。等我什麼時候去翻翻書勤動腦吧
6樓：Huxley
其收斂性證明如下。對於 ,先給出估算：
於是：可見時間積分收斂。上述過程同時給出了乙個上界估計：
雖然不那麼準確，但也聊勝於無了：）
7樓：秋分丿
經 @Huxley 提示，把全部都修改了。希望不要再出問題…
這個題目很不完整啊…
這個木棒與地面的約束條件是怎樣的呢？固定並可自由轉動？還是可水平方向移動的？
如果是前者的話，就是乙個數學擺，沒什麼好說的，甚至在微分方程的書籍裡面會作為經典的例題…如果是後者的話，木棍與地面是否有摩擦？
我想，相比於固定的擺，更感興趣的是類似於一桿筆豎起來，給乙個微擾，然後自由掉落的過程吧。
不過需要注意的是，這個微擾是乙個必需的條件，它必須被列入初值條件內。如果不給一點動能（推一下）；或者不給一點角度（稍微放斜一點），那麼這根杆是不會倒下去的。這也很符合生活直覺。
在這裡就簡化成有乙個初始角度好了。為簡化，也假定地面光滑好了。
木棒質量 ，長 ， 時木棒與豎直方向初始角度為 。時刻木棒與豎直方向夾角為 。機械能守恆有：
在木棒與地面接觸點，豎直方向速度為零：
代入，消掉 有：
由於 ，於是右邊可放心開方。可以判斷角度越來越大，因此有 0" eeimg="1"/>。於是：
做時間從 到 ，角度 從 到 的積分，有：
很遺憾的是，右邊的積分是沒有初等表示式的。當 時，自然應該是不收斂的（經過無窮時間也不會掉下來），而 為一有限值時應當是收斂的（有限時間內能掉下來）。考察函式：
這個函式是比較好作圖的：
交點必然是π/2，無論是數學還是物理上的解釋
的確對初值條件的 很敏感：
時函式值為 ； 時函式值為 ； 時函式值為 等等。
不過這個似乎有點像與 的對數呈線性關係的樣子…
算了…不寫那麼多了，寫得多錯的多，不懂近似，兩個引數更不懂分析了。
給乙個「猜」得的結果吧：
時函式值約等於：
這個近似公式在 這一數量級的時候僅有 的誤差，但在 這一數量級的時候就有 的誤差了，越往上誤差越大…實際上這個誤差估計應該是小→大→小的…
實際上也可以通過構造達到越往上近似越好的函式…不過都有兩個引數了，大象畫不成乙個象腿還是可以的…
就這樣吧/逃
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