1樓：Theta-exi
@Momona Yang 的回答已經講得挺清楚了，但對於題目來說還是不夠，這裡以另乙個角度來回答這個問題。
由於逆序數定義的符號與對換次數定義的符號是等價的，所以這裡逆序數和對換次數就共用乙個函式符號了。
我們對乙個 階行列式 進行這樣的計算：
這便是代數余子式的由來。就得到了的四個代數余子式
這裡要注意乙個地方，比如在處理 時，是將列1234做三個相鄰對換變為列4123，即
1234->1243->1423->4123
於是符號為 ，推廣一下就是，我們要進行這個變換
那麼顯然就需要 次相鄰對換。
我們繼續推廣代數余子式這個概念。
這是乙個 階行列式
關於子式 的代數余子式即為 中劃去 行 列剩下的行列式，符號由 的位置確定，由剛剛的方法將行和列分別進行 和 次相鄰對換可知符號即為 ，即
如果要求的不是一階矩陣的代數余子式，而是 階矩陣的代數余子式，該如何求？
這是乙個 階矩陣 的例子：
所在的列分別是列4，列2，我們要試著把 那列以相鄰對換變換到列1去，就要對換4-1=3次。
當我們繼續試著把 那列變換到列2去時，還是2-2=0次嗎？
在變換 那列時我們已經把 那列從列2變換到列3了，所以還是要對換3-2=1次而不是0次。則一共需要對換(4-1)+(3-2)=4次
為了避免這種麻煩事發生，我們可以先對換 所在的兩列，再進行相鄰對換，即總共需要對換 次
然後，再把 所在行分別變換到行1和行2，要對換(2-1)+(3-2)=2次。這樣符號就為 ，即
根據上面的思路，乙個行列式 關於 的代數余子式的符號可以這樣確定：
先對 所在的列 進行大小排序得到列 ，要對換 次
然後再分別對列 變換到列 ，要相鄰對換 次
最後把 所在的行 分別變換到行 ，要相鄰對換 次
最後，符號就是 ，於是就有
我們定義，前面的叫子式，後面的叫代數余子式。（
2樓：Momona Yang
我們發現二階行列式和三階行列式各項前的符號同逆序數有關，因此我們可以寫出適用二階和三階行列式的表示式，並將其推廣至任意階，即 ，也便是行列式的逆序定義。
我們將這裡的行取排列，即有 ，。
我們從中間任取一數，假設 經過若干次變換成了從小到大的 ，經過若干次變換成了從小到大的 ，那麼其實
這玩意等於啥呢？
我們來舉個例子。比方說 315426，中間取個 3，就是在 3 那裡剌一下，於是就能排成 135 | 246。考慮前 3 個，排在 1、3、5 後面比 1、3、5 小的有 0、1、2 個，即 1-1、3-2、5-3 個。
考慮後 3 個，排在 2、4、6 後面比 2、4、6 小的有 0、0、0 個。
事實上，推廣到任意個數字，時排列中 之後比它小的數有 個；k" eeimg="1"/>之後就這樣的數恒為 0。所以
我們再來考慮這裡的 ，我們瞅瞅逆序定義的行列式能化成啥。
逆序定義裡面行已經是順排了，所以這裡的逆序數都是 0 即可以約去，即：
列就沒那麼幸運了：
這樣我們的 D 就可化成一坨長長的東西。
前面那個括號任取了 k 行 k 列，後面的那個括號就是行列式裡剩下的東西。
我們定義，前面的叫子式，後面的叫代數余子式。
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