1樓：靈劍
可行的確是可行的，不過比較容易的方法是先用級數定義指數函式exp(x)，然後證明exp(a+b)=exp(a)exp(b)，注意到左邊的每一項做二項式展開剛好會變成可分離的a^m/m! b^k/k!這樣的兩項乘積，提取公因式立即就可以證明出來。
接下來通過級數證明尤拉公式cos(x) = (exp(ix)+exp(-ix))/2，sin(x)=(exp(ix)-exp(-ix))/2i就立即可以得到那些和差公式了。
2樓：cvgmt
還可以先證明用三角函式定義的 S(x),C(x) 滿足微分方程組。
S'(t)=C(t),C(t)=-S(t)
接下來要證明那些恒等式只需要求導。
3樓：予一人
先說幾句題外話。從邏輯上，當然可將 直接定義為
並以此為起點，定義其他的三角函式以及匯出所有我們以往是從初等幾何出發得到的三角公式，至少我們有這樣的信心，因為數學是乙個自洽的演繹系統。但是，本帖不可能給出其完整的過程，這裡只想以正、余弦和角公式的推導為例大致展示一下這項工作可能的推進方向。另外，還請注意，儘管 確被定義為冪級數，但也並不意味著處處都需要回歸到這個冪級數的原始定義上進行運算操作，這比較繁瑣，也不是必要的。
首先，從定義出發，我們可以匯出一些在特殊點處的函式值，比如：
這只需要對冪級數賦值計算即可。同樣，由定義還可匯出非常重要的導數關係式：
這只需要對相應的冪級數求導再作比較就夠了。由此再進一步，還可以匯出重要的平方恒等式：
為了證得這個結論，置 則由前面的求導法則，得
於是知 為常值函式，進而就有 由此，我們就可以進一步匯出和角公式：
這裡，置
則 於是，再置 將有 於是知 也為常值函式。進而就有 於是必有 這就得證了。
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