如何解決今年北大自主招生一道面試題？

1樓：陳俊欽

猜乙個：在兩個封閉區域各取兩點，確定一條直線，設f1表示直線分第乙個區域兩邊的面積差，f2為第二個區域的。

這樣f1和f2一起，得到了對映F:R4→R2，我們有理由相信F是光滑的，且是淹沒的，然後使用一下淹沒標準型，然後就比較直觀的應該有f1,f2過0點了。因而有直線平分兩個區域。

2樓：陳明紳

提供乙個思路吧

首先給出乙個面積差的嚴格定義（比如沿直線x從負無窮到正無窮運動的時候直線的左側面積減去右側面積）

然後兩個圖形的面積差構成乙個二元二值的向量值函式（直線由y=kx+b給出，k和b是自變數，兩個面積差f，g構成向量值函式）

則f，g各自的零點構成k，b平面上的一條曲線（可能是不連續的兩段比如雙曲線），如果f，g各自的零點曲線不相交，則某個函式（比如f）的值為正的區域完全落入另乙個函式（g）為正的區域也就是說不存在f為正而g為負的情況

但是可以看出f，g互為正負的四種情況均存在，所以f，g的零點曲線必相交，所以存在一組（k，b）使f，g均為0

3樓：呵呵呵-HKY

易知對任意閉合曲區域，對傾斜角為θ(0≦θ＜π)的直線集，有且只有一條直線平分該區域

固定區域A，作傾斜角為α的直線平分A，平移區域B使其被直線平分，其在直線上作平行於直線的平動，構成關於區域B的位置集合Ui，Ui中任意一元素中B被平分。改變傾斜角，構成無數個集合Ui，Ui的並集一定包含B的原始位置

易知，有且只有一條直線同時分割AB

4樓：鄒先生

我提供一種直觀且"低階"的操作方法。語言上不嚴謹，意會即可。

在此之前，先糾正一種易犯的錯誤:連線重心。事實上過重心任意一條直線想要平分面積，一般來說都是做不到的，稍後我會引申這個問題。

方法先畫一條直線過A和B，分別分割為A1A2和B1B2，只保證A1等於A2，B1和B2的關係則無所謂。這是一定能做到的。只要取A無數平分線中任意一條過B的即可。

此時取直線在A內的割線的中點P，我們容易了解到以下事實:直線繞中點P旋轉乙個無限小的角度，則它仍然平分A。(利用無限小角度情況下的圓弧近似，誤差是高階小量。

當然，必須是中點才能滿足這種性質)

現在看B1B2哪個大，就往哪邊轉乙個無限小的角度，這樣，得到的新的直線仍然平分A，而B的兩部分的面積差縮小了乙個無窮小量。

然後取新的直線在A內割線的新中點P'(它比起P已經有了乙個無窮小位移)，如此往復，進行無限次旋轉，平分A的特徵永遠保留，B兩部分的面積差不斷縮小直到等分。

當然，以上過程是無窮多步無窮小操作的迭代，所以是連續過程而不是離散過程。具體操作可以用微分方程描述。

補充:以上結果僅是對嚴格凸的星形區域進行描述的，因為必須事先做這樣的假定:任意直線和此區域只交出一條割線。

但是對於包括多連通封閉區域在內的一般情況，割線可以有多條，這時候"中點"就不那麼容易確定了。不過這不是本質問題，定義如下推廣的中點:取直線上任意一點為原點，定義函式f(x)=1(當直線上座標為x的點落在區域內)或0(落在區域外)，則中點座標由全直線上的積分x0=∫xf(x)dx確定。

事實上，這是一維的重心問題。可以把這條斷續分布的直線看作一根有的地方勻質有的地方輕質的杆，則其"中點"就是其重心，或者說讓其在均勻力場下平衡的支點。這是因為旋轉微分面積和均勻力場的力矩兩者都是一階矩。

為什麼直接連線兩區域的重心不行？

事實上，面積是面積元積分(注意:不是剛才的旋轉微分面積)"，是零階矩，而重心是以位矢加權的面積元積分，是一階矩，它們一般沒有必然關係。

特例是當區域關於其重心有xy反演對稱性(通俗說就是180度的旋轉不變)，任意過重心的線可以平分面積，這是因為此時任意過重心的連線都是反對稱軸，上下積分區域全等。我們最容易舉出的圓、橢圓、正方形、矩形、平行四邊形這些例子無一例外都是擁有這種對稱性的。相應的，一般梯形就不符合這種規律。

任意三角形也都不符合，即使對稱性最高的正三角形(正三角形旋轉180度會倒過來)。過重心也只有三條垂線能夠平分面積，而其他線不可以，比如平行於一條邊的線就把面積分成4:5兩部分。

5樓：逗比是相互的

火腿三明治原理在n=2的特殊情況。

證明如下:建立座標平面，對於任何乙個給定的0到180度的角，一定有一條傾斜角等於這個角的直線平分第乙個圖形的面積，也一定有一條在傾斜角等於這個角的直線平分第二個圖形的面積。

現在讓給定角從0度轉動到180度，兩條直線也隨之轉動。注意到起始位置與終止位置直線是相同的，但各自轉了180度。由於轉動是連續的，必有乙個時刻兩條直線重合。