1樓：hxl268
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2樓：士不可以不弘毅
起初，人們想找到乙個連續但是處處不可微的函式的例子，在2023年，Bernhard Riemann 給出了下面這個例子[1]：
他說這個函式是乙個連續但是無處可微的函式，並且他把這個例子寫進了他的講課稿中，但是並沒有給出任何證明，後來便不了了之.
但是這件事情激起了Weierstrass的興趣，他很想給出乙個證明，雖然沒能成功，但是這促使他在2023年構造出了第乙個連續但無處可微的函式：
Weierstrass指出， , 並且 是乙個大於1的整數，當 1+3\pi/2" eeimg="1"/>時， 是連續但無處可微的.
但是故事並沒有結束，2023年，G.H.Hardy證明了 在 的無理數倍處，以及 的某些特殊的有理數倍時是不可微的，但是並沒有完全解決Riemann遺留下來的問題.
直到2023年，數學家Gerver才完全解決這個問題，他證明了 只在這個集合上可微： ，而在其他情況下不可微.
從而Riemann最初的構造是錯誤的.
3樓：小蔡
抱歉。由於大一狗知識侷限，想到了數分裡經典的反直覺例子： Weierstrass函式：
處處連續但處處不可導。誰都沒想到乙個中學教師的乙個構造會顛覆當世主流數學家的判斷。也從此對數形結合發出了挑戰。
而後來所開闢的新的領域，又是另一回事兒了。
4樓：張洪濤
記得有乙個數論問題，用計算機驗證到10的好幾十次方的數量級一直是對的，結果再往後發現有個數不適用……當時就明白了為什麼數學家總是堅持要數學證明。
5樓：
翻了翻數分課的筆記，找到乙個相反的，不知道算不算答非所問這個猜想一度被認為是錯誤的，但是最後被證明Luzin猜想：連續函式的Fourier級數一定幾乎處處收斂2023年Bois-Reymond：在一點不收斂的例子2023年Fejer發現了發散點稠密的例子2023年Kolmogorov發現了Fourier級數處處無界的Lebesgue可積函式
以上種種跡象表明它很有可能是錯的。
但是這個猜想最後在2023年被Carleson證明了，而且將條件放寬到了平方可積函式。
6樓：
說個同時也很反直覺的。
Whitehead在嘗試證明Poincare猜想的時候，＂證明＂了所有可縮的3維流形都一定同胚於R^3。
後來他本人舉出了反例，即乙個可縮的不同胚於R^3的流形，現在又被稱作whitehead流形。構造不複雜，但是這個流形有些挺神奇的性質，比如它雖然不同胚於歐式空間，但是它乘以實數軸之後就同胚於四維歐式空間了，又比如它裡面有兩個同胚於R^3的開子流形，相交是R^3，並起來是整個whitehead流形。
後來人們又舉出了很多可縮但不同胚於歐式空間的流形（貌似都被叫做whitehead mfld？這個我有點忘了囧），但注意到1，2維的這樣的流形並不存在。
我覺得這個很反直覺，怎麼都無法想象出它們長啥樣。。。
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