連續擲硬幣直至出現連續4次反面所需投擲次數，其數學期望是16次嗎？

1樓：ChaosLight

我是這樣想的，質量不均勻的概率把他實體化，看成拋一次硬幣會派生出3個正面記為x，2個反面記為y。這樣從0開始丟4次會派生出x4+y4=5的4次方=625，而初始為反面的兩條鏈下的連續反面的個數為2的4次方=16，所以我認為是625/16≈39次

2樓：

這不是ZJOI 2013 Day2 T1嗎……

好像是乙個馬爾可夫鏈？

假設H為正T為反，然後你要四個T，拋到H是沒用的，拋到T才是能繼續的，模擬一次KMP，走到終點就是期望次數，公式我忘了

3樓：陳辰陽

可以把問題等價於求在已經連續投4次反面的條件下再連續投四次反面所需要的投擲次數的期望。

也就是上圖的馬式鏈，求0到4的首入時的期望可以寫出乙個不變測度：（1，1/2，1/4，1/8，1/16）轉化為不變分布就是求得在4處的不變分布為1/31，所以4到4的首入時期望為31

最後可得0到4的首入時期望為30

而改成0.4沒有任何難度，無非就是

不變測度變成（1，0.4，0.4^2，0.

4^3，0.4^4）4到4的首入時變成1+2.5+2.

5^2+2.5^3+2.5^4最終結果為2.

5+2.5^2+2.5^3+2.

5^4=啥自己算吧

4樓：Recursion

別的回答都很厲害。。。其實有乙個更為一般的結論。。。從混凝土數學上學到的。。。

假設有乙個n面的硬幣，可以等概率返回1,2,3,...,n。

把連續拋擲的結果記錄下來得到乙個字串。

假設我們連續拋擲直至出現數字串s。

期望的拋擲次數為 [串s有乙個長度k的border]。border的定義為乙個既是s的字首也是字尾的子串。

順便一提這個結論就是CTSC2006歌唱王國。。。

對於本題答案就是

記集合B為s的所有字尾滿足去掉這個字尾後的串是s的乙個border的集合。比如若s為12212，則P為。

記所有以s結尾但之前未出現s的串的集合為S。也就是所有可能的拋擲結果的集合。

記所有不包含串s的串的集合為N。也就是所有拋擲過程中可能出現的串的集合。

答案顯然是

下面用1表示空串，+表示集合的並，C表示字符集，AB表示從集合A和B中各取乙個串出來連線的集合,As表示集合A中所有串與s連線的集合。

可列方程：

1+NC=N+S (左邊是所有結束或未結束的拋擲狀態)

Ns=S(1+B) (直接在N後面接乙個s可能會多出乙個border)

下面設集合A的概率生成函式F(A)(為了方便省去了自變數z)。

求導那麼可以發現z=1時F'(S)就是答案。

用概率生成函式替換之前方程的集合，可以得到：

解出為了方便運算，可以把分子分母單獨取出來求導。

把z=1代入最後可以求得 [串s有乙個長度k的border]

5樓：伊藤大智

有一種不用Markov property的暴力解法讓T是出現四次正面時間 E[T]= P(T\geq 1)+ P(T\geq2)+.... 而計算P(T\geq n) 就是計算前n次實驗中 2^n個outcome中沒有四個連著正面向上的outcome的數量除以2^n 可以用recurrence來計算

6樓：洛陽的小蝦公尺

不請自來，而且不回答問題。

我來發表一下對樓主「直覺」的看法，首先，1/16是對的，但是不是扔16次，而是16個4次，對吧，那就是64次。但是問題是，這中間少算了4次序列交叉的部分，所以樓主的直覺結果應該是16次到64次之間，而且其實更偏向於16次這邊，也就是32次之內。！ @Richard Xu 大哥的答案也驗證了這個猜想。

7樓：Kingsing Tang

反面概率為p，正面為(1-p)，求出現連續k次反面的次數期望E(k)。

1）當第1次為正面時，次數期望為(1-p)(1+E(k))；

2）當第2次為正面時，次數期望為(1-p)p(2+E(k))；

3）當第k次為正面時，次數期望為(1-p)p^(k-1)(k+E(k))；

4）當前k次都是反面時，次數期望為k*p^k則有：

化簡可得：

代入p=0.5，k=4，可得E(4)=30

8樓：Richard Xu

這就是個Markov Chain啊。

設一枚硬幣投出正面的概率是p，記「當已擲出X次反面時，直至出現連續4次反面所需的期望次數」為P(X)，則

P(0) = 1 + p P(0) + (1-p) P(1)

P(1) = 1 + p P(0) + (1-p) P(2)

P(2) = 1 + p P(0) + (1-p) P(3)

P(3) = 1 + p P(0) + (1-p) P(4)

P(4) = 0

解得P(0) = 1/(1-p)^4+1/(1-p)^3+1/(1-p)^2+1/(1-p)

P(1) = 1/(1-p)^4+1/(1-p)^3+1/(1-p)^2

P(2) = 1/(1-p)^4+1/(1-p)^3

P(3) = 1/(1-p)^4

所以p=0.5時，所需的次數期望是16+8+4+2 = 30 次。

以及，題主請不要濫用術語。期望是個常數，期望沒有分布。次數倒是有分布，但是顯然不可能是正態分佈——正態分佈是個連續分布。

而且，我們不是在做估計，所以談不上置信區間——這就是個確定的東西，不需要「置信」。

記直至第n次才出現連續4次反面的概率為Q(n)，注意到這意味著：

前n-5次沒有出現連續4次反面，第n-4次為正面，第n-3次~第n次為反面，因此

Q(n) = (1-Q(0)-Q(1)-Q(2)-...-Q(n-5))*p*(1-p)^4

Q(n-1) = (1-Q(0)-Q(1)-Q(2)-...-Q(n-6))*p*(1-p)^4

因此Q(n) = Q(n-1) - Q(n-5)*p*(1-p)^4 （n>5）

按照這個遞推式能求出來所有的概率，但是應該是沒有很直觀的解析解就是了。從這個式子的形式可以看出，顯然Q(n)在n>5的時候是單調遞減的。

連續擲硬幣直至出現連續4次反面所需投擲次數，其數學期望是16次嗎？

每天連續擲硬幣，直到連續出現兩次正面就停止，第二天繼續，連續一年時間，擲出正面的期望值是多少？

擲1000次硬幣，出現連續十次（或以上）正面的概率是多少？

拋硬幣，連續三次向上，下一次拋硬幣反面向上的概率還是50 嗎？

其他用戶還看了：