1樓：知乎精英
字詞@久野歩夢 的說法，不過這裡還可以多做乙個註腳。
這個問題大概可以分成兩方面來答，一方面是但從從系統內部來看的，一方面是構建上的的。
單從系統內部的角度來說的話，乙個包含模態運算元的形式系統S裡面必然化規則的形式是├s P→├s LP（以下簡稱N），N不是乙個公理，而是乙個推理規則，這和「如果有一行符號是PQ，PQ後面的一行符號是P，那麼你可以在P後面那一行寫下Q」（肯定前件，modus ponens）是一樣的。N的意思是：「如果你能在系統S內給出乙個關於P的證明，那麼你可以在P的下一行寫下LP」，而一般來說S內的證明是乙個關於系統S的定義，所以N可以被看作是良定義的。
至於N是否可以寫成公理的形式，我個人猜測是可能的，因為哥德爾在給出了一種編碼的方法來從乙個系統的內部「談論」句子的可證性，但是具體方法需要進一步確證。在這種情況下，如果我們把N這個推理規則加到ZFC裡面，N的形式是「├zfc P→├zfc LP」，從這點上來說，任何ZFC能夠推出的句子都能被必然化。
至於構建方面的考量，如果題主認為「集合論命題」不屬於「邏輯命題」，那麼題主可能會想給N一些限制，比如「如果├pc P→├pc LP， 那麼├zfc LP」（PC為一階邏輯，而我們都知道ZFC為PC的擴充套件），這樣就構建出了一種限制題主口中「非邏輯命題」的N，但這點是構建上的考量，題主需要先給出乙個有說服力的論證說明「集合論命題不屬於邏輯命題」，否則單純的指責是乞題的，類似於指責羅素的系統裡面沒有無限一樣。
2樓：「已登出」
必然化規則(Necessitation rule):
推理成立的前提是命題A本就在該系統中為真，即是該系統的一條公理或其定理。
如果如題主所述，紅框中的命題是「乙個集合論命題而非邏輯定理」，那麼該步推理是不成立的。
但是，這裡紅框中的命題是由ZF定理＋UI(全稱列舉)推出的，它不是定理本身，但也是乙個具有必然性的邏輯命題。
因此，個人認為這步推理沒有問題。
題主反對的關鍵似乎在於：由ZF定理+全稱列舉後得到的命題是否能夠被必然化，即「ZFC公理不應在能被必然化規則使用的範圍內」。
但是，我認為必然化規則中，必然化的物件不是命題A，而是A。換言之，必然化是否成立和命題A本身的內容沒有關係，只要它在句法上能夠由公理推出就可以了。
3樓：
沒有問題。在模態邏輯中，必然化規則確實只能用於模態邏輯定理，原因是，任何形式系統中，初始規則都只能對定理使用。
先明確這裡的形式系統是什麼，是一階加集合論加K系統的形式系統。而在這乙個證明序列中，確實(2)是這個形式系統的定理，所以從這裡使用必然化規則是沒問題的。並不是說必然化規則在任何系統中都只能對模態命題邏輯的定理使用。
在這個系統中，N規則的表述是：如果 ，那麼 。這裡是沒有問題的。
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