1樓：Xipan Xiao
只考慮極端的情況，比如 時，此時是乙個列向量，它把任意乙個實數 對映成 ，此時對任意的 維向量 ，有（記 ）
看最右邊的式子就知道，這是向量 在向量 上的投影。然後用 減去這個投影，就得到 在 的正交補上面的投影。
2樓：靈劍
最小二乘法當中常用的形式，對於投影到X所在空間，實質上就是求矩陣A，使得：
若Xb = 0，則Ab = 0
同時AX = X
從X的正交補中選出一組單位正交基構成矩陣X2，則有AX2 = 0，合起來就是
A (X X2) = (X 0)
則A = (X 0)(X X2)^-1
注意到因為X^T X2 = 0，因此有
(X X2)^T (X X2) = (X^TX 0; 0 I)
右邊矩陣的逆矩陣很好求，取逆之後得到
((X^TX)^-1 0; 0 I)(X X2)^T (X X2) = I
也就是((X^TX)^-1 X^T; X2^T) (X X2) = I
因為這個式子，所以(XX^T)^-1X^T可以叫做X的偽逆。
代回前面的表示式，就有
A=X(X^T X)^-1 X^T
用對偶變換的話應該可以推廣到一般線性空間上（對偶相當於矩陣求逆），怎麼解釋就不太清楚了，應該類似吧。
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