1樓：thehand
你說的是外爾斯特拉斯的工作。實數構造理論三大派，康托，外爾斯特拉斯，戴德金。但凡數分就要提這三位不是沒有道理的。
有一點是很清楚的，不能用極限來定義無理數，這屬於迴圈論證。以上三個人分別採用有理基本列，無限不迴圈十進位制小數，區間分割構造實數，就是為了繞開這個死迴圈而產生的方法。
2樓：虛實道長
@張樂陶
我這裡也有個想法，希望有人能用各種定理進行證明。
美系教材優點是直觀，俄系教材優點是嚴謹。當然，也有相反的案例。
我用盡量大白話來說。
加法是任何演算法的核心。
減法是逆向加法。乘法是同乙個數的N次加法。除法是一種特殊減法，同時也是加法。
比如10/3 其實是減了3次3.餘1.
為何這麼強調加法？因為，加法太重要了！加法是不是還是一種彌補？
不是說有理數不稠密嗎？那麼把不稠密的漏洞堵上不就稠密了？用加法。
上面的問題顯然有另一種方法解讀。按照陶哲軒的提法，那就是用有理數的柯西序列求極限。
我們來點石破天驚的！
用「基」。
3.1415....是不是3×1 +1×0.
1+4×0.01+。。。。這是不是對乙個無理數（實數）在無窮維基（1,0.
1,0.001,0.0001......
)下用不同係數進行的展開？
這個基是收斂的，係數又是小於等於9的，當然級數收斂的。用比較判斂法，我們就知道pai收斂到pai。
也就是，pai 這個不可數的無理數，可以用可數的收斂的無窮維的有理數基進行展開！
在此，知乎這裡，我提出乙個林氏假說（待證明的定理）：
任何乙個實數，都可以通過可數的，無窮的，收斂的，帶係數的有理數基組成的級數進行展開。
這個描述是完全石破天驚的。因為，她打破了不可數，可數的界限，也打破了離散和連續的界限，
其實傅利葉級數和泰勒級數都是力圖通過可數離散的方式來逼近連續統。
如果這個假說能夠成為定理，那麼通過加法，我們就打通了連續和離散的界限！
也就是說，有理數系統內的加法和數乘操作，在無窮維的基和對應級數的幫助下，可以覆蓋實數。也就是覆蓋有理數系統當中那些無理數的「洞」。
3樓：asdlittle
不必事先引入無窮級數的定義，但具體怎樣定義實數的無限小數表示和用的是什麼方式建立的實數理論有關，其實這是個多看幾個版本的數學分析教材基本就可以解決的問題
4樓：漢傑
對於無限迴圈小數可以視為有理數或既約分數的小數形式，可以看做有限個有理數相加。對於無限不迴圈小數，要看做無限個有理數的相加，這裡要用到的數學工具是泰勒展開或麥克勞林展開，近似的位數取決於所取的泰勒展開的項數，誤差用拉格朗日餘項來估計。所以說古希臘學派認為整數(有理數)是最神聖的，因為它們可以表達自然界的任何量，無限不迴圈小數就用無限個整數來表示就是這個道理。
5樓：[已重置]
這取決於你怎麼定義實數 (完備有序域？戴德金分割？柯西序列的等價類/有理數度量空間的完備化？)。
1. 如果你把實數定義為有理數柯西序列的等價類，那你的問題根本就不會存在。依照此定義敘述實數理論的教材有陶哲軒的《分析》。
2. 如果你以公理化的實數模型來定義實數，那麼卓里奇在《數學分析》第二章§2節之第4條c款——「位置計數法」(準確的術語應該叫q進(位)制，真懶得吐槽這本書的翻譯了。。)中詳細地闡述了如何從阿基公尺德性(作為完備公理的推論)建立起任意實數的有理數序列逼近。
3. 直接拿無限小數定義實數的，好吧還真有。。。屬於數學分析的「新講」了，至於哪本書上能找到……就不重複了。
思而不學則殆，確非虛語。。
6樓：靈劍
用極限就可以，截斷到第n位的有限小數（是個分數）作為第n項，整個數列的極限就是無限小數，因為單調遞增有上界，所以一定收斂。比起級數來說要簡單一些。
sqrt 2 和sqrt 3 的 二進位制無限小數 不進製加法是否為有理數？是否為代數數？
sqrt2和sqrt3在二進位制展開下的2的差是關於k的週期函式的話，那麼這個差是有理數，那麼sqrt2和sqrt3的差是有理數，這個證明什麼地方有問題 farter yang 不算回答，想到了完全相同的問題 repl.it farteryhr BinaryFractionsBitwiseOp in...
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