1樓：PerfectIsShit
說說高中生一些想法吧。eg：
（1,2）和 [1,2] 區間中對於 ，當 =2。他們明明乙個能取到1，乙個取不到，那為啥極限又可以都是2呢？因為實數是連續的，（在具體一點此處是為了理解並不嚴謹）我可以在數軸上無限逼近1，靠著1最近的那個點。
（在1的右面一點點，由於和1就差乙個點，點是沒有大小和長度的，所以這個點到原點的距離還是1）
說這麼多，我們對待無限概念的問題分析和解決都是通過分割轉化成有限來研究的，緊緻性是為了保證我們從無限到有限分析的時候切割成模組的準確性。即把所有模組合在一起還是原來的問題，各種性質都沒有任何改變。
2樓：古木
最近快期末了在複習topologie， 看了知乎的回答和老師以及wiki的定義，談一談自己的理解。只是個人理解，不適用於考試，但是可以直觀理解。如有錯誤多謝糾正。
完備性有乙個回答我感覺很棒，就像看一串數列極限是否掉進洞裡，如果沒有洞就是完備的。法語的定義是toute suite de Cauchy converge, 所有的柯西數列收斂。比如有理數Q就不完備，因為有柯西數列（1+1/n）^n收斂於無理數e。
緊緻(compact)的法語定義是 séparé+ quasi-compact, quasi compact（直譯理解成「幾乎緊緻」 ， 或者我不知道是不是你們說的「緊的」， 「預緊」？）是乙個heine borel lebesgue定理，意思是所有E的開覆蓋都能找到乙個有限子覆蓋。直觀來看，我理解為空間E像乙個橡皮，你用手圍住它，總能縮小握的範圍，直到手握範圍等於橡皮外圍，不能再小，這時候就說明E 是緊的。
（quasi compact, précompact）
Séparé（可分割？？≠separable 可分的）的定義是所有不同的兩點都存在不相交的兩個鄰域。（= ε網那個定義）.
直觀理解就是，橡皮筋捆一把筷子，個個清晰明了不融合。或者是一袋真空包裝的沙子，個個緊挨不互相融合，袋子整體又有邊界。
所以compact， 緊緻， 就像是一捆橡皮筋捆起來的筷子，外圍被壓實了而裡面又處處可分，裡面處處可以看作是基本一樣的，所以區域性性質可以被用在整體。
以上說的都是拓撲空間的情況。列緊是度量空間，是拓撲空間的一種特殊情況，其結論由Bolzano weirstrass兩個人給出，所以以他們的姓命名。度量空間取子列就像取拓撲空間的子覆蓋，至於為什麼收斂，因為沿著幾根筷子走，總能走到邊界呀~
說列緊是完備+完全有界也沒錯，但這都是子列收斂得出來的結論，因為他也是柯西數列。一些等價命題罷了。
至於空間séparé, 又有乙個dénombrable（可數性？）的問題，這裡就涉及到mesure（測度）的課程了。。
3樓：loong
不請自來，談談自己的理解。
我感覺緊緻性相當於拓撲意義下的某種有限性，是很深刻的。可以模擬於基數意義下的有限集。
比如說緊緻集的連續像仍是緊緻集。歐式空間的集子集是有界閉集，這些都直接與某種有限性掛鉤。測度論關於Riesz表示定理的構造中與開集對標的是緊集。
度量空間的列緊性反而不是緊的本質特徵，畢竟很多空間都沒有度量，只依賴於開集的拓撲性質或許更接近進於緊的本質。
反正我做題感覺開覆蓋性質比列緊性質有時更好用，證明也更優美簡潔。畢竟能在有限時解決問題，就幹嘛要請動無限這種誰都覺得詭異的東西。。。
4樓：若羽
1）若拓撲空間 的任一開集覆蓋集允許乙個有限子覆蓋，則認為該拓撲空間是緊緻的。
2）Euclid空間 子集可以有緊的誘導拓撲，其充分必要條件是此子集為有界的閉集。
3）同胚之間保持緊性，緊空間為笛卡爾積、緯垂與統聯仍然是緊空間。
4）拓撲空間 的陣列序列也是緊緻的，如果其點序列收斂於 中某個點。
5） 具有可數集，則X為緊空間的充要條件是 為列緊空間。
5樓：cvgmt
閉區間 [0,1] 是緊緻的。0, 1 兩點處，就好像兩個護欄，但你不能往外跨那麼一點點，否則就掉出去了，你說緊不緊？
開區間 (0,1)，裡面隨便一點，都可以往外跨一點點而不會掉出去，是不是不夠緊緻，太寬鬆了？
6樓：鄭兆華
光看概念有點抽象，找個反例就好理解了。
比如區間A（0，1/2]
構建無限多開集（1，1/1），（1，1/2），……，（1，1/n）這些開集覆蓋A，但是無法取有限個開集覆蓋A，故A不是緊的。
7樓：蒲楊
個人臆想，僅供參考：
乙個開集相當於乙個面元；
用流形撐乙個巨集觀面，這相當於在流形上撐無窮個面元，或者說用開集覆蓋乙個流形；
取子覆蓋相當於減少面元的數量；
子覆蓋有限時，巨集觀面縮緊成有限個面元，所以說緊緻。
8樓：嚴民
所有回答都引用有限子覆蓋的定義。這個定義是最不直觀的，因此答案不扣題。
對「緊緻性」最直觀的理解（甚至於定義）是任何序列有收斂子串行！
這裡回到了更巨集觀的問題，就是什麼是拓撲？通常的所有開集滿足三條公理的定義是邏輯上最簡潔，但理解上最不人性的。實際上拓撲就是一般的描述極限的數學語言，任何人，包括廣場大媽，都對極限有樸素的感覺。
比如百公尺衝刺世界紀錄一定有乙個極限。如下是用極限定義的拓撲概念：
1. A 是開集，如果某序列的極限在 A 中就意味著除去開頭的有限項後整個序列都在 A 中
2. A 是閉集，如果某收斂序列的在 A 中就意味著序列的極限也在 A 中
3. A 是緊集，如果某序列的在 A 中就意味著有收斂子串行，且極限也在 A 中
4. 乙個對映是連續的，如果它保持序列的極限
為什麼要這樣定義緊集？因為這樣的定義馬上就可以用來證明緊集上的連續函式有界，並可以達到上下界。
如上思路有兩個問題。第乙個是拓撲公理，開集的三條公理實際上等價於四條關於序列極限的公理（最複雜的公理是極限的極限仍是極限）。第二個是我們不能僅限於由自然數標籤的序列，而是要推廣到部分有序集(partially ordered set)標籤的序列，如果僅限於自然數標籤，那我們只能描述滿足第一可數條件的拓撲空間。
9樓：stack111
大多數數學裡的新概念剛學的時候沒法真正直觀理解，以後多次見到就理解了。
緊集嘛，大概是一種雖然可以是無限集但很多性質與有限集相同的東西。
10樓：伍毅子
生活直觀上理解，乙個有界閉集卻不緊是一件頗為奇怪的事情。
完備度量空間中的緊緻性與完全有界等價。而完全有界直觀上可以如下比喻：
將集合（有界閉集）看成乙個漁網，不管魚兒多小，我們只要將網眼變得比魚小，網內的魚就出不去。
現在有人告訴你，一些拓撲空間上的有界閉集可以是不緊的。也就是說存在那麼一種狀態，無論你把漁網網眼做得多細，總有魚能夠溜出去，除非你把網眼做成無窮多個甚至不可數無窮多個，但這在工程上是不可能的。在無限維空間中可能會出現非緊的有界閉集，這是一種反直覺現象。
數學裡有限和無限之間總存在一些鴻溝，這樣的反直覺現象還有很多，比方說無限集合可以跟它的子集具有相同的基數。
緊緻性的重要性在於有時能將無限的問題化為有限的問題，建立有限與無限之間的橋梁，並使問題能夠得到解決。比方說，把空間分解為開覆蓋，相當於把空間撕碎，你得保證把空間撕碎之後還能夠縫得起來。只要縫有限次就能把緊空間縫起來，其他空間則需要縫無限次，那會導致問題。
11樓：
1.完全有界的完備集是緊緻集。
2.如果乙個集合中任意乙個序列都有乙個子串行收斂到該集合中某點，則該集合是緊緻集。
3.能夠被有限個開集所覆蓋的集合是緊緻集。
12樓：Yuhang Liu
在度量空間上緊等價於完備＋完全有界，完全有界是個比有界更強的條件，即對任意的e>0，存在有限的e-網。在有限維（且滿足C2公理）的（黎曼）流形上完全有界就是有界。（「黎曼」兩個字可以不加，by partion of unity我們總能構造乙個內積）
度量空間上緊等價於列緊等價於可數緊等價於聚點緊。一般我們都選取列緊作為判斷依據，因為最方便。
非度量空間（不可度量化的空間）上緊性的刻畫是比較subtle的問題，我也不了解。
13樓：包遵信
緊緻性本質上是個 「有限性條件」。有限性條件是用來破解某些類似於 「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」 的場景的。如果某個比較 「整體」 的性質在任意乙個點附近都成立，但是在總體上成立與否很難說，這種時候就用緊緻性來破。
先寫個定義：
（數學分析）給定的子集，如果對於任意乙個並集包含的開區間族，都存在中有限個元素（開區間）使得，則說是緊的。
（點集拓撲）拓撲空間是緊的當且僅當任意開覆蓋有有限子覆蓋。
比如，「有界閉區間上的連續函式一定有界」 這個命題。在不知道對錯的時候，給定連續函式，起碼對於每個點附近他都是對的，每個點附近用連續性的定義肯定存在使得上的函式值, 也就是說這個函式在上是有界的。對每個你都能找到這樣乙個小的開區間。
但是存在這種可能性，每個開區間上的上界不一樣，所有的開區間的上界放在一起，這個新集合沒有上界。（比如 由給出的情形，每個點附近前面描述的那種的上界就是，放在一起當然沒有上界）怎麼辦呢，這時候就需要有限性條件，存在有限個點 使得覆蓋住給定的有界閉區間。這時候個已知的上界中肯定有最大的乙個，那這個就是上界。
不難看出，無界的情形，或者開區間的情形，都有反例。抽象地看，反例存在的核心原因就是開覆蓋沒有有限子覆蓋，導致上述證明失效。緊緻性相關的證明基本上涉及的是 「整體」 的條件，比如有界，一致連續等等。
驗證乙個區域性的條件基本上是用不到緊緻性的。緊緻性是把性質從區域性往整體推的法寶。
關於 「一尺之棰日取其半萬世不竭」：假如我想從 0 走到 1，而且已知我在每個點都有能力往前邁一小步，那麼我一定能走到 1 嗎——未必，沒準某種限制導致我的第步只能邁出那麼長。但是如果有某種有限性條件使得我的步長一定有個非零的下界的話，那我肯定可以走到 1 這個點。
—— 這句話也可以用來解釋半開半閉區間 [0, 1) 不是緊緻的：構成 [0, 1) 的一組開覆蓋，而這個開覆蓋沒有有限的子覆蓋。
說到邁步了，就來解釋一下為什麼單位區間 是緊的吧：只需要用到實數裡任意集合都有上確界(least upper bound) 這個性質——如果有乙個 的開覆蓋 ，考慮使得 有有限子覆蓋的那些 組成的集合 ，它的上確界記作 , 如果 , 找乙個 裡的開集 覆蓋 ，如果 的話，則 也屬於 ，跟 是上確界矛盾。所以 ，找乙個開集蓋住 1 以後得到 的有限子覆蓋。
作為上面證明的補充，大家可以考慮一下為什麼 不是緊緻的（這裡的子集沒有上確界）。
再補充乙個有趣的結論，從這裡更能看出「緊」和「有限」的相似之處：我們知道有限個開集的交也是開集，實際上「緊」個開集的交也是開集。也就是說，對任意的拓撲空間，設是中的開集，令，則是中的開集。
如果是緊的，則是中的開集。
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