1樓：蘿蔔列夫耶維奇
設 的微分 滿足
條件1:
我們把這個線性對映記作
這個線性對映對應的矩陣就叫做
根據定義顯然有
，n=m=1時，在每個點這個矩陣總是1-1的，所以我們把他看成實數。
特別的，m=1時,
所以如果把梯度推廣到向量函式上，那麼我們可以把 就定義為特別的，n=m時，我們有
條件2:
可以證明這樣的 是唯一的
如上所述 把n元函式 變成了2n元函式，多出來的變數可知
2樓：疇人不愁
Def.設在 附近有定義，若存在常數 使得
則稱 在 處可微，線性對映 稱為 在在 處的微分。
注：函式的微分是逐點定義的，其本質是線性運算元，並且在在 處微分的斜率就是在該點的導數 。
3樓：tetradecane
如下圖所示：
微分的圖示
微分就是對函式的乙個點以及其鄰域內的內容作研究，作近似。如果近似得比較好，滿足一定條件，就稱為可微。
設有函式 ，當 從 開始變化得非常微小，增加了 的時候，我們嘗試用線性函式，即這一點的切線，來近似 的變化，近似為 增加了 . 實際上 增加了 ，誤差error是 .
有些性質比較好的函式， 是 的高階無窮小，即 ，我們就稱 在 可微。可以做乙個簡單的變形：
也就是說一點可微，可推出該點可導，而且比例係數 恰好就是該點的導數。對於一元函式而言，一點可導也能推出該點可微，把上面過程逆過來即可。
線性情況是最簡單的情況，化曲為直，我們就可以輕鬆計算出其斜率、線下面積等等，求斜率就是求導，求線下面積就是積分。數學處處都是這種化歸的思想。
另外提一下微積分的意義：初等數學到高等數學的台階就是微積分。微積分使問題變難為易，變不可能為可能。
初等數學，求面積，只能求正方形啊、矩形啊、三角形啊等等這種直邊圖形的面積，至多帶乙個圓（其實圓面積公式，嚴格意義上來說，要用微積分才能推導出來）。有了微積分，只要給出函式，隨便什麼線下面積我都可以算出來了（當然有的不能解析表達，但是至少我可以用積分進行數值計算，能達到任意精度）。模擬到物理上，初等數學只能解決類似勻速直線的有規律的運動，微積分就能通過任何 函式算出 函式。
其它理工科方面也是類似。所以微積分使數學瞬間增大了應用範圍，使數學向前邁進了一大步。
4樓：沉璞
簡單點說，微分就是個近似值
原本某函式一點的領域並非線性，無法精確表示領域內「函式的長度」，那咱們就把領域的範圍縮小縮小再縮小唄
縮到很小很小的時候，咱們就把那一段彎彎的函式近似拉直，變成一小段線性函式～就很容易求長度啦
這段「長度」的高就是微分()
以上皆為個人胡思亂想(ω)
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