1樓：silvergin
解答看白神的就好，這裡就定性上說一點。
直線雖然路程短，但是平均速率要慢一點。
最下面那條線雖然平均速率大，但是路程相對來說又更大了。
而時間等於路程除以平均速率，折中之後最好的那條線就是速降線了，具體的就還是看@白書旭 的變分法
2樓：Albert Anne
還是約翰·伯努利對這個問題想的絕，把最降速線問題等價與乙個光學問題。
把小球下降的過程等價成光在n層不同折射率玻璃的傳播。
知乎上好像有非常詳細的解答：知乎專欄
3樓：UsernameRedacted
不妨假設軌道光滑，高度為，寬度為，起始點為原點，向下為軸正方向，向右為軸正方向
對於直線，總時間為
對於最速降線（Brachistochrone curve）由能量守恆，速率
即而由曲線的弧長公式，，其中知故
因此最速降線指的是使得最小（變分為0）的曲線，因此積分裡的函式滿足Euler-Lagrange方程：
即由這個ODE以及邊界條件，，容易解出（其實並不算很容易233），，其中為引數
最速降線的方程解出來了，再看看時間
唔，我用Mathematica試著算了一下，貌似的解析式很複雜= =只能在給定和的情況下求數值解咯……
直線之所以慢，是因為它所對應的軌跡得到的時間的變分不為0啦變分是怎麼回事呢？其實跟微分很類似，乙個泛函（functional）的變分就是，其中是任意函式
上面的就是乙個泛函，它的「自變數」就是
關於最速降線三兩問
Ramune 這個問題可以從Euler Lagrange equation入手。我們可以假設要對某個函式L y,y 的積分進行變分，那麼可以利用復合函式求導的法則把 L展開成 1 y函式的變分又必須滿足狄利克雷邊界條件，所以進一步利用分部積分來化簡 2 若變分結果為0，則結果取到極值 3 由於變分項...
求解最速降線能否將最速降線設為約束f（x，y）然後帶入拉格朗日方程用不定乘數法把f（x，y）解出來呢？
題主你好，我們先要明白什麼是最速降線問題，才能去解決它。1，通常來講，最速降線問題等同與乙個關於一元函式的積分型泛函求極值的問題，即 T T y x 給乙個曲線方程，對應乙個下滑x時間T 函式空間到一維實數空間的對映 代入尤拉 拉格朗日方程，即可得到該問題的微分方程，它是關於下落曲線的微分方程。2，...
擺線（最速降線） 的原理是什麼，如何證明？
愧史氏 作為曾經在物理競賽裡劃過水的現數學系人士，回憶一下求速降線的光學方法。歷史上，速降線的問題最早是伽利略提出來的，但伽利略給出了錯誤的答案 圓。60多年後，伯努利家族的約翰伯努利重新提出這個問題，並吸引了當時很多人的關注。Kushin Jiang 的方法是約翰的哥哥雅克比伯努利給出的，並且是後...