1樓：dhchen
首先，我們需要一點準備內容。我首先得習慣把乙個線性運算元 和它的圖想對應，並且把它理解成乙個特殊 的線性子空間. 也就是說， .
你也可以認為是把運算元 的圖和 一一對應了。這樣的化，乙個運算元是閉運算元，當且僅當 作為子空間是閉的。
基於這個理解，我們給出對偶運算元 的乙個等價定義，設 為 ，
對於任意空間 ，我們定義 不難發現， 一定是乙個閉子空間。按照上面的設定，對偶運算元的（等價）定義如下：
,這個保證了任何 如果存在，它一定是閉運算元。
另一方面，對於任意 ,我們可以定義 。
對於任意子空間 我們有
. 對於閉運算元，它等價於 ,也就是說作為乙個 的子空間，它閉包後等於自己。
任意線性運算元都有乙個圖，這個圖可以看成是乙個線性子空間 ，這是OK的。那麼乙個線性自空間的閉包後雖然還是自空間，但是不能保證它還對應乙個運算元。 可閉包化的意思是 依然是乙個運算元（的圖）。
或者等價於，如果 ，而且 , ,那麼必然有 。
好了，準備內容完畢，我們開始證明。
如果 是可閉化的，但是 不是稠密的，那麼根據Hahn-Banach定理和自反性，我們可以找到 使得 於是 ,我們有
換句說說 ，這是不可能的，因為 是乙個運算元，因為 .
如果 是稠定的，而 ,則我們可以發現
.根據 的稠密性，不難發現 。
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