1樓：
都是給一疊錢，需要你數:
黎曼積分是拿起錢直接數一共多少錢
勒貝格積分是先把錢分類，一塊，五塊，十塊，二十五十一百分好，然後再數每種有幾張
2樓：諾特環上的素理想
分析渣渣來強答一下。
我覺得是完備性。
學過實分析的同學都知道Lebesgue積分保證了：
和 是完備內積空間（Hilbert空間）。至於完備性的意義，我覺得很重要的一點是，它保證了這兩個空間是同構的。而切入點就是Fourier展開。
設 是的一組標準正交基， 可以寫成 的線性組合： ，其中 。這裡等號的意思是在Hilbert範數的意義下收斂。具體細節可以參考
跳跳的皮卡丘：從實分析的觀點看Fourier級數
或者任何一本泛函分析教材（值得指出的是，這裡收斂的證明已經用到了 的完備性，但我更希望通過下面的角度來闡述）。進一步的，由上面文章的定理4（Parseval等式）得： 。
因此， 。
總結一下，我們得到了 到 的乙個線性變換
由Parseval等式知這個變換是保長度，因此它是乙個酉變換。
那麼我們自然就會問： 是否為同構？
單射是因為 是一組標準正交基，Fourier展開是唯一的。所以我們只需考慮它何時為滿射，或者說，以 為係數的求和式什麼時候在 中收斂？
記 ，則 n" eeimg="1"/>時， 。這是有限和，因此由於 的定義知
，故 是Cauchy列。
如果說 是完備的（我認為Lebesgue積分的關鍵在於此），那麼 在 中收斂於 。故 是滿射，從而是同構。
綜上，從代數的角度看，研究平方可積函式就轉換為研究Fourier係數。顯然，研究後者會方便很多。
3樓：「已登出」
4樓：阿門
學習新知識，如果老師教不了你，那麼去上課就是無用的，因為學習新知識是思考在時間上的積累，如果去上課 ，會使思考幾乎時時刻刻被打斷，那樣就不可積了。
但是複習則不一樣，複習是勒貝格式的積累，被打斷的時間不會影響你思考，只會影響你的閱讀速度，所以複習是回顧每一塊知識點在所需時間上的積累。
所以會預習的人，一定懂得如何複習。
科研也是一種黎曼式積累，它需要的是連續的時間去幹一件事。
只可意會，亦可言傳
5樓：
話說上學期選課選了實變，感覺跟方向相關重疊的知識很少..所以寫個回答做個記錄吧 ( )
就一維情形有限區間[a,b]上的函式的R積分和L積分進行比較（結論+例子+一點分析），L積分主要有三個優點：
1.L積分比R積分有更廣的可積函式範圍。
例子是熟悉的Dirichlet函式D(x)，黎曼積分意義下不可積（∵上和積分等於1，下和積分等於0），但因D(x)=0，a.e，故勒貝格積分意義下可積。
此外有定理：有限區間上的函式如果R可積，則必定L可積，且積分值相等。
但是廣義的Riemann積分（無界函式或無窮區間上的積分）和Lebesgue積分無直接關係。比如f(x)=sin(x)/x，在[0,+∞]上的廣義R積分為1/(2π)，但因|f(x)|在[0,+∞]上的積分不是有限數，從而L([0,+∞])。
2.某些極限過程，比如關於積分列求極限時，L積分比R積分優越性體現在：R積分經常要求函式列一致收斂才有極限與積分號可以交換順序，對於L積分，有極限與積分號交換順序只要求Lebesgue控制收斂定理。
舉例說明，把[0,1]中的有理點排列成 ，定義函式列: ，則 處處收斂於 , 且 對 成立,由Lebesgue控制收斂定理知 :。但是儘管有 ， R積分意義下不可積。
3. 關於微積分基本定理，在R積分意義下要求f(x)有連續導數（或者減弱條件也要求f'(x)R可積），而在L積分意義下，只要求f'(x)L可積。
此外，由L可積函式可以引入絕對連續函式的概念，它除了相差乙個常數外，與它的導函式的不定積分相等（不作展開了）。
6樓：嚴民
Lebesgue 積分可以用多種方法構造，不一定按值域分割。注意是構造，不是定義。
Lebesgue 積分的精髓就是測度，由此精髓出發也可以不按值域分割構造Lebesgue 積分。
Riemann 積分是用有限方法構造的測度（Jordan測度），Lebesgue 積分是用可數無限方法構造的測度。因為極限是可數無限的，Lebesgue 積分的極限性質（有界收斂定理，單調收斂定理，Fatou引理）遠遠好過Riemann 積分。Riemann 積分有缺陷，Lebesgue 積分是Riemann 積分的完善。
7樓：
我們教授再三強調，勒貝格積分和黎曼積分的區別僅僅在於：黎曼積分把區間分成有限段，而勒貝格積分允許可數無限。
黎曼積分的定義：如果對於某個 ，對任意的 0" eeimg="1"/>都存在 0" eeimg="1"/>，使得對任意的 （其中 ）和任意的 都有 ，那麼 在 上黎曼可積，積分為 。
它等價於下面這個看上去稍微複雜的定義：如果對於某個 ，對任意的 0" eeimg="1"/>都存在 ，使得對任意的 （其中 包含在某個 中）和任意的 都有 ，那麼 在 上黎曼可積，積分為 。等價性大致可以看出來（把所有的分點都標上）。
勒貝格積分的定義：如果對於某個 ，對任意的 0" eeimg="1"/>都存在 上的乙個勒貝格可測的分法（即存在可數多個勒貝格可測的集合 ，互相不交，並起來是 ），使得對於任何比它更細的分法（對應集合 （總是包含於某個 中）和樣本點 ），都有 ，那麼 在 上勒貝格可積，積分為 。（這個定義不如上面「橫切」的那個常見，不過二者是等價的。
）容易發現，把勒貝格積分中的這些 、改成有限個，從可測集合變成區間，那麼勒貝格積分就變成了黎曼積分。
為什麼不像黎曼積分的（傳統）定義一樣只涉及乙個分法？回想數列極限的定義：如果對於某個 ，對任意的 0" eeimg="1"/>都存在 ，使得對任意的 N" eeimg="1"/>都有 ，那麼 的極限是 。
所以勒貝格積分本質是極限，細的分法比粗的分法」大「（此事可以嚴格定義，見維基百科」directed set「頁）。黎曼積分的定義當然也可以這麼寫，不過由於區間總數有限，兩個分法對黎曼積分來說多此一舉。
抽象的測度空間上不再有區間的概念，所以區間要被換成可測集合。至於有限個還是無限個，可測集合天生允許無限並，想回有限也不可能了，所以勒貝格積分自然成了抽象空間上積分的首選。抽象空間上也沒有序的概念，所以誰先加誰後加是不一定的，只有絕對收斂才有良好定義（條件收斂的級數可通過重排收斂到任意值或乾脆發散）。
於是勒貝格積分沒有條件收斂這一說。對於抽象空間來說這不是壞事。
關於反常積分（可能無界，積分的範圍 可能測度無限，比如實數軸）。黎曼說：把 、取極限即得反常積分（等價於什麼可以自行寫出並證明）；勒貝格說：
如果對於某個 ，對任意的 0" eeimg="1"/>都存在正數 和測度有限的集合 ，使得對於任何比 還大的 和比 還大的測度有限的集合 （當然 不能比 還大），都有 （ 即把 掐頭去尾，大於 的部分和小於 的部分換成 和 。注意 我們是會算的），那麼 在 上積分為 。發現沒有，反常積分的定義又是個極限：
掐頭去尾更少、積分範圍更廣代表更「大」。黎曼要求 始終是區間，因為他不支援任意可測集合；黎曼也不敢掐頭去尾，因為 大於 的部分可能長得很奇怪（不是有限個區間的並）。你看「有限」和「區間」真的是黎曼積分的硬傷。
關於廣義的極限再說兩句：數學總是重複自身，大一學的東西（比如極限）在大三大四和研究生時期變個模樣再次出現（比如黎曼積分、勒貝格積分、拓撲、直極限）。以不變應萬變才不致迷失方向。
關於極限的內容可參看Kelley的General Topology。
8樓：何子揚
好像是什麼定理吧，告訴我們Riemann可積本質取決於不連續點是零測集，然而不連續點是零測集顯然是可測函式，那麼基本上就是勒貝格可積的。
反過來，lbg可積本質上只依賴於函式可測，也就是水平集的某種正則性，那麼像dilichlet函式這種從水平集層次來看很簡單的函式自然是lbg可積的，但是當然不是黎曼可積的。
怎麼理解乙個積分呢，積分就是從函式空間到某個域的運算元，你自然要去理解定義域長什麼樣，值域是不是滿的，還有就是這個積分怎麼定義出來的。
9樓：
講一講聯絡好了。。。
大前提：在閉區間[a，b]中，
①非負連續的實值函式F1(x)
則∫（L）F1（x）dx=∫（R）F1（x）dx②函式F2（x），若F2的正部和負部為非負連續的函式，則∫（L）F2（x）dx=∫（R）F2（x）dx③若其中F3（x）R-可積，則必定L-可積。
且∫（L）F3（x）dx=∫（R）F3（x）dx④若F4（x）有界，R-可積，則若f∈L（R），且廣義∫f（x）dx絕對收斂，
則∫（L）F4（x）dx=∫（R）F4（x）dx
10樓：
定理：區間[a,b]上的有界函式f黎曼可積當且僅當f的不連續點是零測集。
它有乙個簡單的推論：
對於區間[a,b]的子集E的示性函式XE，黎曼可積當且僅當E的邊界點是零測集，勒貝格可積當且僅當E可測。
積分給人最直觀感受就是求面積，上面這個推論說的就是，勒貝格比黎曼能求出更多的形如E×[0,1]這樣的圖形的面積。
11樓：
不連續點的個數為至多可數時，黎曼可積。在有限區間上勒貝格積分和黎曼積分是可以劃等號的。
在無限區間上，就變為了廣義黎曼積分。存在黎曼可積但是勒貝格不可積的函式，這是對廣義黎曼積分而言。這時函式廣義黎曼可積但函式的絕對值不一定可積；函式勒貝格可積等價於函式的絕對值勒貝格可積。
12樓：姚金鈴
一般情況下，黎曼積分和勒貝格積分是等價的，但是有些情況是勒貝格可積而黎曼不可積的，例如著名的狄利克雷函式，積分值為0，因為有理數是可數的。這個每一本實變的書都會講到這個
13樓：yuyu
Riemann積分的定義是從逐段常值函式開始的（這是最簡單的情形），而Lebesgue積分用更一般的函式——簡單函式代替了逐段常值函式。對於乙個函式，簡單函式比逐段常值函式逼近得更細緻，這使得Lebesgue積分可以處理更多的函式。至於按定義域分割，還是按值域分割，這是無關緊要的。
這裡簡單回顧一下Riemann積分和Lebesgue積分的定義，以一維的情形為例。
----Riemann積分----
設是有界區間，乙個逐段常值函式是有限個的子區間的指示函式
的線性組合
這裡是自然數，是實數。
如果是乙個逐段常值函式，我們定義的逐段常值積分
這裡表示區間的長度。（即對於）
設是有界函式，我們定義在上的下Riemann積分
在上的上Riemann積分
很明顯，，如果這兩個數相等，我們就說是Riemann可積的，並且定義在上的Riemann積分
。----Lebesgue積分----
乙個簡單函式是有限個可測集合的指示函式的線性組合
這裡是自然數，是實數。乙個非負簡單函式的定義是類似的，但在中取值而不是在中。
如果是乙個非負簡單函式，積分定義為
因此在中取值。
設是非負函式（不必可測），我們定義的下Lebesgue積分
我們也可以定義的上Lebesgue積分
但我們很少使用這個積分，注意這兩個積分都在中取值，並且上Lebesgue積分大於或等於下Lebesgue積分。
如果是可測的，我們定義的Lebesgue積分等於它的下Lebesgue積分。（對於不可測的函式，我們不定義它的Lebesgue積分）
乙個可測函式說是絕對可積的如果積分
是有限的。如果是絕對可積的，我們定義的Lebesgue積分
這裡是的正部和負部。
尤拉方程與淺水方程中Riemann不變數含義是什麼？
鵬鵬 Riemann不變數是雙曲型守恆方程特徵理論的精髓，相關知識可以參考應隆安的 雙曲型守恆方程及其差分方法 這本書。對於一維雙曲型守恆方程 其特徵值為，對應左右特徵向量分別為，其中，通常稱定義的平面內的曲線為方程組 1 的特徵方程，其在相空間中的等價形式為 積分得到 即稱首次積分即為方程組 1 ...
勒貝格積分與黎曼積分的區別？
勒貝格積分是黎曼積分的推廣，黎曼積分僅僅適用於連續或者幾乎處處連續的函式的積分，但是許多函式並不滿足上述性質。比如狄利克雷函式，其在定義域上是處處不連續的，無法進行黎曼積分。而勒貝格積分只要求被積函式是有界可測函式，顯然狄利克雷函式是滿足的，所以可以進行勒貝格積分。由於狄利克雷函式在有理數處的函式值...
學過微積分的人與沒學過微積分的人有啥差別？
學過微積分的人遇到債主會千方百計讓他相信他不用還錢，因為大錢化小小錢化了 沒學過微積分的人沒有債主，因為他們有能力找到乙份養活自己的工作，而不會被當成深井冰 學過微積分的人拿著1塊錢花一輩子，因為1塊錢 錢d錢，從這個意義上1毛他們照樣能花一輩子 沒有學過微積分的人在學過微積分的人的眼裡都是 f 錢...