1樓：紫信
照你這麼說
怎麼區分2與-2呢
平方都是4，且都不是本身
2+(-2)等於0
i+(-i)等於0
就像區分實數一般
只是對虛數理解比較困難
不能很好的對比罷了
2樓：HOOCCOOH
模擬：如何絕對區分出左右？
如何絕對區分出旋轉方向？（不借助時鐘方向或左右方向）實際上就是是個定向，人為欽定乙個作為正的來統一一下，反一反也不影響任何東西，只是符號而已。
3樓：
這種問題就是屬於哲學思維體操或者類似數學奧賽了。繞來繞去，還是把握虛數i的實際定義最靠譜。負負得正，可以把所有數學概念都玩一次這樣的把戲，在正負之間折騰
4樓：今天也在熬夜製圖
這個問題實在是問的太好了
這種對乙個數學物件其抽象本質的觀察，在我看來就是當初抽象代數學產生的源頭。
i是什麼？沒有人說過i一定是被放在復平面上（0，1）那個地方的元素。如果我們要從實數出發得到i，那麼i的所有性質，事實上僅僅由它的代數性質確定。
也就是滿足i的極小多項式：其平方為-1。在代數擴張的觀點下看，i的性質僅此而已，而-i也是擁有同樣性質的元素。
只不過呢，滿足這樣子的元素，很不巧，有兩個，而且互為共軛，於是我們只好記其中乙個為i。世界上是否有絕對的那個i呢？當然不是的。
1和-1則是不同的，因為代數性質真的不一樣，1是乘法的單位元。至於某些人說其實這都只是代號，1其實也是-1，那麼按照這個說法所有記號都可以隨便置換，只要定義的代數結構完全同構就可以了。這種看起來更加「抽象」的觀點，事實上根本就沒有觸及抽象的實質，反而是讓更多的人以為數學就是一種玄學。
題主你自己的思考則是非常對的。
這個問題真的很好，我也給很多人講過這個有趣的現象。試想下，工科生為了不把i與電流搞混，都是用j來記作基本的虛單位，某天你可以問他：你寫的這個j，是我的i呢？還是我的-i？
5樓：李德甲
定義虛數i為-1的平方根過於生硬了，而且會引發題主的問題。 我大學時找到過一種重新引入虛數的方式，用這種方式就沒那麼多混淆的地方了：李德甲：靈感乍現的時刻（3）——時空數
用這篇文章裡的引入方式，只能規定逆時針旋轉90度為i，順時針旋轉90度是不能作為i的。（1*i=i，這個等式是不能違反的，而i在座標系裡是作為(0,1)存在的，從這意義上說，只能規定逆時針旋轉為i。）
用這種新的方式可以引入類似複數的其他數系，並且跟物理學有關聯。譬如平方為0的數系就是牛頓力學，平方為1的數系就是相對論力學。
從代數上講，2者完全沒有區別，但是在幾何上，乙個是順時針旋轉90度，乙個是逆時針旋轉90度，這就差別很大了。
所以，要不要絕對區分出i跟-i，關鍵看你要不要幾何化複數。
6樓：「已登出」
不能而 也就是向 中新增了 的根。
具體是哪個根（或者說根根本就是抓來的乙個東西,說人話就是：搞了乙個符號，規定這就是根，然後搗鼓搗鼓）不重要，於是無法分辨
7樓：大壯
請問±根號2(1＋i)/2這一對數可以套用±i的這種關係麼。如果可以，那麼-1的8個8次方根，由於我不會算只能這樣表示：a＋bi，-a-bi，b-ai，-b＋ai，a-bi，-a＋bi，b＋ai，-b-ai，也是一樣的關係嗎，可以再推出無窮多個虛數滿足這種關係嗎
8樓：Longway
前幾個回答都不靠譜，甚至可以說完全錯誤。這個問題，我認為我有完美的解釋。
題主的意思是，i的定義是平方為-1的數，那麼-i也是滿足的。所以如果我們把虛數單位定義為j=-i，可以發現所有理論都成立，完全相同。這裡的i和j是共軛的，不影響理論。
而1和-1是互為相反數，為什麼不能互換呢？因為x^2=x對於x=1符合，對於x=-1不符合。現在我來詳細解釋。
結論是：1和-1也是可以互換的！！！！！
我們的數系定義是這個順序：自然數→整數→有理數→實數→複數。
而定義自然數則必須定義0和1，有了0和1，然後自然數就是這個集合了。這裡的0和1你可以換成任何字母或數字。這裡的加法運算實際是乙個對映，可以參考皮亞諾公理體系。
如果把1換成-1，那麼自然數就變成了。
然後定義乘法，乘法是歸納定義的：a*0=0,a*(b+(-1))=a*b+a.
看到了嗎？在這個定義下：a*(-1)=a，如果令a=-1，則a*a=a是符合的。
再退一萬步說，1只是乙個代號，1的基本性質（甚至可以理解成定義）就是對乘法群的么元，也就是對任意a，有a*1=a，如果把1改成-1，么元就是-1，那就是a*(-1)=a，這是允許的，x^2=x的解自然也可以是-1.
9樓：徐大二
從代數的角度上，站在 內無法區分. 這件事可以表述為「任何由實數和加減乘除所寫出的關係，如果 i 滿足，那麼 -i 同時也滿足」. 換句話說：
對任何實係數多項式 , f(i) = 0 當且僅當 f(-i) = 0.
這個事實的證明正是基於相對自同構的觀點. 事實上，
如果存在乙個保持加減乘除的 到 的變換 σ （乙個域自同構）使得對所有的實數 x 有 σ(x) = x, 那麼所有「用實數和加減乘除所寫出的關係」都應該不變.
slogan: 乙個自同構是一種對稱，而被自同構所等同起來的元素是不可區分的.
實際上上述命題可以寫成 f(σ(x)) = σ(f(x)). 於是只要選取 σ 使得 σ(i) = -i, 就能說明「i 所滿足的實係數多項式，-i 也都滿足」（證明給有興趣的讀者留做習題）. 這個 σ 就是其他許多答主也提到的復共軛.
這可以直觀地看成「±i 關於 是對稱的」. 但要注意的是這並不是幾何意義下的對稱；復共軛恰好能解釋為沿著 軸反射，但一般情形未必如此.
比如，大家都習慣於認為和完全是兩碼事——畢竟，乙個是正數乙個是負數. 但事實上如果我們忘記暫時實數的概念，僅僅站在有理數的角度，兩者並不能被區分開來. 讓我們暫時忘記實數的概念，僅僅在有理數上加入了乙個符號 t, 規定 , 且規定 t 滿足通常的運算性質，我們可以得到所有形如 a + bt 的數 (a, b 為有理數) 的全體，記作 ; 令 σ(a + bt) = a - bt, 則 σ 是保持運算的（驗證！
），也就是說 1 + t 和 1 - t 是不能用有理係數方程區分的，或者說 和 是關於 對稱（也叫做共軛）的. 顯然這裡的對稱就不是幾何的，只有用正確的代數描述才能看出. 另外，如果站在實數的角度看，它們顯然是不同的；它們也的確滿足不同的實係數方程：
顯然並不滿足 (!)
這也順帶引出了乙個問題： 當然是 的子集，但是 並不自動地是 的子集；要將 嵌入 中，需要做乙個選擇：t 可以對映到 或者 .
（為了使 的條件成立，只有這兩種選擇）. 實際上這裡有「兩種」選擇和 有「兩種」自同構（全體不動和 σ）是緊密相關的. 題主的問題也是同理：
是 的子集，但 要和 等同起來，還差乙個符號的選取. 而在 裡面 ±i 當然是不同的.
既然說到這裡了，不妨隨便扯一點 Galois 理論. 一般地，我們考慮兩個域 K L. 保持 K 不動的 L 的自同構全體形成乙個群，記為 Aut(L/K).
根據前面的分析，這個群其實蘊含了「L 中 K 係數多項式的根」之間的對稱性. Galois 理論最著名的應用——證明某些方程不存在根式解——是基於這樣一項觀察：任何「p 次根號」開出來的結果，一定具有 p 重輪換對稱性.
例如 2 一定有 7 個 7 次方根，而且這 7 個根之間都是對稱的. 考慮 K L L L. 假如每一步都是開根號得來的，那麼 都應該是 p 階迴圈群.
如果我們能研究清楚 , , 和 之間的關係，就能知道 Aut(L/K) 的結構了. 實際上不難證明這就是乙個商群的關係；換句話說 α ∈ L 能夠用 K 的元素加減乘除開方表示出來，當且僅當 α 和它所有共軛元的對稱群能夠通過不斷商掉乙個迴圈群而達到單位群；這就把乙個複雜的代數問題本質上組合化了；剩下的就是一些形式化證明的工作了.
注：我跳過了對 Galois 擴張/正規擴張的介紹. 有興趣的讀者可以思考下面的習題：
考慮 到 的嵌入. 有多少種？
一般地，應該加上什麼條件，才能避免這種情況？這個條件有什麼好的作用？
補充：應 @王箏 的要求，稍微講講這件事情怎樣用模型論的觀點來看. 想法上基本就是最前面提到的觀點，考慮語言中所有能用 A 中的引數能表達的關係.
假設 M 是乙個模型，A 是 M 的乙個子集，b 是乙個元素. 我們可以考慮 b 在 A 上的 type, 定義為
我們還可以進一步考慮 n-元的 type, 即對於乙個 n-元組，考慮所有它所滿足的 n-元公式. 例如 (i, -i), 滿足 , 等等. 我們可以發現 (i, i) 和 (-i, -i) 仍然是不可區分的，但 (i, i) 和 (i, -i) 是可以區分的——顯然前者並不滿足 (!
) 這個事實當然也可以用代數幾何的觀點來解釋，但用模型論看（我認為）更加直觀.
10樓：
這跟複數域如何定義有關。比如，定義 為集合，具有加法 和乘法 。這樣就可以典範地規定 ，於是 。
這裡的規定雖然是人為的，但所指是確定的。如果含混地把「複數域」理解為任何同構於 的域，就不能無歧義地定義虛數單位。根據上下文，數學書經常採用等價於前者的態度，即預設區分是「絕對的」。
11樓：星空
只是共軛的一對複數同時作為實數方程組的複數解。。。沒啥好不好區分的
虛數i你可以理解為是1的乙個90度旋轉量吧反正我是這麼看的
12樓：莘縣陽谷
i和-i是虛軸上關於原點對稱的兩點。它們本身就是兩個不同的「數」。這個「數」是虛數。
題主如果正在學習複數，已經或者將會知道i其實是復平面上實軸的單位1沿逆時針旋轉（2kπ+π/2，k=1，2，...)所得。那麼，單位1沿順時針方向旋轉（2kπ+π/2，k=1，2，...
)就會得到-i。模擬實數裡互為相反數的定義，i與-i也互為相反「數」。
其實，應注意到將實數擴充套件到複數後，複數是既有大小又有方向的量，「大小」模擬向量的「模長」，方向由輻角的主值決定（詳見高中數學複數部分）。如果單純考慮虛數（複數的實部為0），誠如題主所言，i=|i|=|-i|=1，i=（-i)=-1，但是i的輻角主值是π/2，-i的輻角主值是-π/2，方向不等。
」我舉個例子，1與-1不是相對的，因為1的平方等於本身，而-1的平方不等於本身，所以它們能絕對地區分出來。「題主所言的這個判定標準沒有考慮到複數的方向性，僅從數值運算上加以判斷，結果自然是不全面的。
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