1樓：物理學徒妖妖夢
如果作Wick轉動，溫度就是虛時週期的逆。從如下形式的Kerr度規開始：
這裡不妨取 ，再用視界座標表示 ：
這樣計算會簡單一些。在外視界處， ，關於 展開。經過一番計算，會得到如下形式的度規：
顯然 是共轉角座標，我們應當令 ，於是可以用 表示 ，那麼再經過一番計算，就會得到如下形式的度規：
作Wick轉動後與二維極座標度規比對，從角座標的週期為 ，得到虛時 的週期，取逆就得到溫度：
2樓：
非常熟悉的話確實有賊快捷的辦法。快捷到像球對稱那些那麼簡單。
這個是可以用來直接看出視界位置的那個部分。用上就有
熵正比於視界面積。用合適的積分就行，寫完積分式別急著積，記得先把 取為 . 結果是 .
不熟悉的話會疑惑為什麼 代替了球對稱時空 裡 的角色. 只好耐心點慢慢來了。
個人喜歡用Eddington座標算。Eddington座標系下Kerr時空的線元是
很容易就能看出 和 就是Killing向量場。它們的特定線性組合才是在視界處切於視界的那個Killing向量場 . 外視界的 是 ，內視界的 是 .
這裡只關心外視界。內視界的，用一樣的辦法也能處理。
於是，只要算 ，然後再求導就行。由於跟已有回答重複，我就不細說了，照著算就行。
"..."的部分在視界處是0，不用管。公升指標後有奇效
所以 .
另外，用 平推過去也是一樣的
感謝群友指點公式編輯
Eddington座標系的好處是方便看出在視界上正比於 . 如果從Bolyer-Lindquist座標系出發怎麼換成Eddington座標系呢？
, 看逆變度規會方便得多。甚至還可以順手把一開始賊快捷的演算法找出來。用這個相當少見的寫法
.把帶pole的，只跟 相關的部分分離出來
看pole就能找到將要切於視界的Killing向量場。pole是由 來的
跟球對稱的比一比
,***與 相當的應該是 . 邏輯上的gap用自己的思考填上吧。
找變換到Eddington座標系的座標變換，思路就是以消掉pole為目的。最簡單的做法是
逆變度規的分量很容易算。舉個例子，
這是多了非對角的。消掉pole的例子是
其他的類似。至於度規的分量，要算就慢慢算吧。
以上です。
3樓：Trivial
在boyer-Lindquist座標系下寫出度規的形式其中 , , , .
它具有兩個視界 ，其中外視界是存在熱力學的，對於Kerr黑洞，在視界處的類光向量是
其中 表面引力定義為
在Kerr黑洞這個度規下直接計算 .求導，因為視界處 .
. 進行一番化簡可以求出表面引力的值
關於熵，在愛因斯坦引力下不管是什麼解都是和面積成正比的.
截面度規
. 也可以利用關係 ,都化作質量的表示式，更容易的看出熱力學關係。
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