1樓：軟軟乎乎乎乎
對於線性振動系統而言（非線性振動系統的固有頻率不再是系統本身屬性，會隨初始條件等引數發生變化）：
當阻尼比 時，上式等號成立。
以下詳細解釋共振頻率 （題主的 ），有阻尼固有頻率 （題主的 ）和無阻尼固有頻率 （題主的 ）三者關係。
以最簡單的簡諧激勵為例。掌握了解諧波響應分析方法，就可以求乙個線性系統在任何激勵下的響應。諧波激勵下的強迫振動運動方程是非齊次微分方程
其通解=齊次微分方程通解 +非齊次微分方程特解
可以看出，諧波激勵下強迫振動：穩態振幅和相位角取決於系統本身的物理特性 和激勵特性，與初始條件無關。是一種持續的振動（穩態振動）。
穩態振幅X與激勵幅值引起的靜位移A之間的關係式為：
因此，動力係數 與頻率比 滿足：
幅頻曲線
振動系統的幅頻響應曲線主要分為以下三個區域：
1）「準靜態區」或「剛度區」（ ）：振動系統的特性主要是彈性元件作用的結果，阻尼的影響不大。低頻激勵時的振動幅值 X 接近於靜態位移 A，這時動態效應很小，強迫振動的動態過程可以近似用靜變形過程描述。
2）「阻尼區3）「慣性區」( )：振動系統的特性主要是質量元件作用的結果，阻尼的影響不大。高頻激勵時的振動幅值非常小（你的耳朵為什麼聽不到超聲波）。
由於慣性的影響，系統來不及對高頻激勵做出響應，因而振幅很小。
在 λ=1 附近的區域內，共振對於來自阻尼的影響很敏感，無阻尼時強迫振動的振幅將隨時間趨於無窮大，增加阻尼使振幅明顯下降 ，幅頻曲線出現峰值（共振點）：
因此，共振頻率為
當阻尼比大於0.707時，系統不會出現共振（振幅無極值），且動態位移比靜態位移小。
有阻尼固有頻率為 （推導過程此處不再贅述，也是同樣求解微分方程）
綜上所述，共振頻率，有阻尼固有頻率和無阻尼固有頻率的關係是。換言之，有阻尼時，系統共振並不發生在固有頻率處，而是比固有頻率稍小的位置。隨著阻尼比的增大，共振幅值降低，共振位置向低頻方向移動。
2樓：李狗嗨
對於這個問題，題主自己其實已經說得很明白了，題主所說的自由振動頻率 其實就是指無阻尼系統的無阻尼固有頻率；而自由振動頻率 指的是有阻尼系統的阻尼固有頻率。
有阻尼單自由度系統
那麼現在條件是有阻尼強迫振動，即系統是有阻尼系統（如上圖），而固有頻率是系統的固有屬性，其不受外界施加條件的影響，所以，系統的共振頻率為該有阻尼系統的阻尼固有頻率。即，當外部驅動力的頻率 時，系統發生共振。
另外，補充一句： 是將該有阻尼系統中的阻尼項去除後得到的無阻尼系統的無阻尼固有頻率，該無阻尼系統與題中所說的帶阻尼的受迫振動系統完全是兩個不同的系統了，這兩個不同的系統之間的固有屬性是不同的。
有阻尼自由振動的時頻域解的詳細計算請參考：
李狗嗨：機械振動理論(1)-單自由度系統
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