1樓：麥克斯古德
首先，那叫極限環。接下來我們將分幾部分說明，極限環的發生與系統雅可比矩陣之間的關係。
一、我們以含乙個引數的二維連續時間動力系統為例：其平衡點處的雅克比矩陣存在兩個特徵根，分別為lambda1和lambda2。隨著引數變化，其中某一特徵根抵達至虛軸時，平衡點將發生退化，此時平衡點為非雙曲平衡點。
進一步的，當分別滿足若干假設性條件時，該平衡點處會分別發生1）鞍結分岔；2）跨臨界分岔；3）叉形分岔。
二、進一步地，當隨著引數繼續變動，平衡點處雅克比矩陣的兩個特徵根都抵達至虛軸，即特徵根實部為零，虛部不為零。此時，若1）頻率大於零；2）特徵根穿越虛軸的速度不為零；3）第一李雅普諾夫係數不為零。平衡點在該處將發生Hopf分岔，即在平衡點的一端將衍生出一系列極限環，根據Hopf分岔的型別（超臨界或者亞臨界）可判斷極限環的穩定性。
三、此外，若增加系統引數的數量為兩個。當引數滿足某些條件時，系統平衡點會發生進一步的退化，如Generalized Hopf分岔或者BT分岔。此二者皆為餘維二分岔，其附近皆存在極限環結構。
2樓：姓林
極限環好像跟Jacobian矩陣沒關係吧。
龐加萊本迪克松定理講人話就是，一條軌道一直從外向裡繞，而它內部又沒有乙個平衡點，那麼這條軌道就只好形成乙個極限環了。
迪拉克定理好像是 在區域內不變號，則無閉軌。硬要說跟Jacobian矩陣的關係，可能就是這個吧。
Jacobian矩陣通常是用來判斷極限點的，而不是極限環。
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