1樓：江東四傑
首先， 不可能存在由6邊形或以上構造的正多面體。因為乙個頂點至少要由三個面圍成。但是6邊形以上的圖形內角不小於120度，這種情況下三個圖形無法拼成乙個頂點。
這是因為，乙個頂點周圍的角的和必小於360度。(證明思路:構造乙個正n稜錐，並將頂點S投影到底面，然後用餘弦定理證明投影之後角的會增大)
由此，由正五邊形，正4邊形拼成的正多面體，乙個頂點周圍至多有3個面。類似地，由正三角形拼成的正多面體，其頂點周圍至多有5個面。故正多面體至多有5種。
接下來在每種對應情況下構造出符合條件的正多面體即可。
(p.s 如果想要更高的嚴謹性，還是參照前面的答案，用尤拉公式)
2樓：
設正多面體有V個頂點，E條邊，F個面，每個面是p邊形（p≥3），每個頂點連線著q條邊（q≥3）。注意到pF=2E（因為每條邊屬於兩個面），qV=2E（因為每條邊連線兩個點），因此代入尤拉公式V-E+F=2，得到2E/q-E+2E/p=2，整理得1/p+1/q=1/E+1/2，注意到1/p+1/q>1/2且p,q必須至少為3，因此只能有
(p=3, q=3), (p=4, q=3), (p=3, q=4), (p=5, q=3), (p=3, q=5) 五組解，分別對應著正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。
五種正多面體的對比：
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