1樓：宮非
2020-02-25
固體材料的能帶結構由多條能帶組成，類似於原子中的電子能級，電子先佔據低能量的能帶，逐步佔據高能級的能帶。根據電子填充的情況，能帶分為傳導帶（簡稱導帶，少量電子填充）和價電帶（簡稱價帶，大量電子填充），導帶和價帶間的空隙稱為「禁帶，forbidden band」，電子無法填充，能態密度為0 的能量區間），大小為「能隙，band gap」。
圖 1. 石墨烯晶格和能帶結構。
首先，光子晶體是介電常數週期性變化而成能量禁帶，禁止特殊波長電磁波在其中傳播的材料。準確地說，它是一類結構，而不是新材料，這些介電常數週期性變化的結構能夠阻止特定頻率的光子傳入或傳出，類似於半導體晶體中能帶結構對於電子行為的影響。光子晶體中也有光子禁帶，它是光子晶體的基本特點，可以在通訊、光子整合迴路等方面應用。
其次，光子晶體結構可以模仿石墨烯結構，並做人為的進行設計，以下採用圓形和六邊形為散射元，並採用石墨烯結構為排列週期，形成二維光子晶體結構，並對其禁帶特性進行研究。
由於石墨烯光子晶體中傳播的電磁波模式可分為TE 和TM 兩種模式，因此模擬時可分為四種情況：TE 模介質柱型、TE 模空氣孔型、TM 模介質柱型、TM 模空氣孔型。圖1 是兩種石墨烯光子晶體示意圖，圖1a 為圓形散射元的石墨烯光子晶體示意圖，圖 1b 為六邊形散射元的石墨烯光子晶體示意圖。
為避免相鄰散射源元重疊，在圖1a 中散射元半徑R，0，在圖1b 中六邊形散射元邊長L，0。
圖 2. 石墨烯結構光子晶體示意圖。
研究方法系採用Rsoft 軟體計算光子晶體的相對禁帶寬度，並用Origin 軟體分析資料，通過改變引數分別對於圓形散射元和六邊形散射元構建的石墨烯結構光子晶體進行模擬分析，得到不同的引數對應的絕對禁帶、相對禁帶的大小，然後經過換算，得到最大的相對禁帶寬度。
首先，針對R 值對圓形散射元石墨烯結構相對禁帶寬度之影響，經模擬計算，得到在 TM 模式下得到的相對禁帶寬度不理想，在TE 模式下得到較大的相對禁帶寬度，如圖2 所示。圖2a、2b 分別表示了在 TE 模介質柱和TE 模空氣孔兩種情況下，相對禁帶寬度關於引數 R 的變化規律，可見兩者變化規律完全不同：
1).TE 模介質柱情況下，相對禁帶寬度隨 R 呈先增大後減小的趨勢，當 R=0.24μm 時，相對禁帶最大；
2).TE 模空氣孔情況下，相對禁帶寬度隨 R 呈增大趨勢，當 R<0.28μm 時沒有禁帶出現，R=0.5μm 時，相對禁帶最大。
圖 3. (a)TE 模介質柱禁帶隨 R 引數變化圖；(b)TE 模空氣孔禁帶隨 R 引數變化圖。
再來，針對R 值對六邊形散射元石墨烯結構相對禁帶寬度之影響，經模擬計算，在TE 模介質柱和 TE 模空氣孔兩種情況下得到的禁帶，兩者有相似的地方：在 TE 模介質柱和 TE 模空氣孔兩種情況得到了較大的相對禁帶寬度，相對禁帶寬度隨L都呈先增大後減小的趨勢。如圖 3 所示，圖3a、3b 分別表示了這兩種情況下相對禁帶寬度關於引數R 的變化規律。
但是也有區別：
1). TE 模介質柱情況下，當L=0.19μm 時，相對禁帶較大；
2). TE 模空氣孔情況下，當L=0.47μm 時，相對禁帶最大。
通過對以上進行的模擬進行總結，可以獲得圓形和六邊形散射元石墨烯結構四種情況下的相對禁帶的最大值對應的引數，具體資料如表1。
表 1. 四種情況下最大相對禁帶對應的引數。
分析模擬實驗結果可得：以六邊形為散射元的石墨烯結構光子晶體比以圓形為散射元的石墨烯結構光子晶體所得到的相對禁帶寬度理想。
1). 以六邊形為散射元的石墨烯結構光子晶體中，TE 模介質柱型情況下，L=0.19μm 時，相對禁帶最大，其能帶情況如圖4a 所示，其中陰影部分代表禁帶，其歸一化中心頻率為0.
29，相對禁帶寬度為49.0%；
2). TE 模空氣孔型情況下，L=0.47μm 時，相對禁帶最大，其能帶情況如圖4b 所示，其中陰影部分代表禁帶，其歸一化中心頻率為0.36，相對禁帶寬度為53.6%。
圖 4. 實驗模擬的能帶圖。
可見，散射元結構和週期性排列類似時，更容易形成相對寬的禁帶，這對製作實際的光子晶體提供了相應的資料以及合理的模型，為石墨烯結構的應用提供了方向。
注：別急！下面來說明下以COMSOL 模擬石墨烯光子晶體能帶的做法。
2020-02-25
用數學方法描述真實的物理問題時，一般有三種描述方式：
1、偏微分方程形式（Partial Differential Equation，PDE）；
2、能量最小化形式；
3、弱形式（Weak Form）。
他們都是同一物理方程的不同等效形式，針對特定條件有各自的優勢。其中我們最常見的便是偏微分方程。PDE 方程一般都有對應的解析解，當難以得到其解析解時，便需要根據變分原理或能量最小化原理轉化為積分形式的泛函式變分問題求解。
積分形式適合用有限元元求解，而弱形式可以看做對積分變數連續性要求更低，形式更一般的能量最小化形式了。
我們以石墨烯材料為例，構建二維色散材料光子晶體，簡單介紹了如何在 COMSOL Multiphysics 中設定「弱形式方程」來求解光子晶體能帶，和具體的引數設定。COMSOL Mutiphysics 是求解多物理場的一款有限元數值求解軟體，通過內建多種物理方程及相應求解器，可以對互相耦合的複雜物理問題進行數值求解，是物理學研究中非常重要的工具。
在求解光子晶體能帶時，當使用COMSOL 內建的本徵值求解模組時，需要預先定義好其最簡布里淵區邊界，COMSOL 會自動隨布洛赫波矢k 的變化求解得到其相應頻率的本徵值。在求解色散材料問題時，即介電常數ε(f) 或者磁導率μ(f) 是頻率相關函式，由於未知，COMSOL 內建本徵值求解模組將無法求解，這個時候就需要借助自定義弱形式方程來求解了。考慮介質中傳播電磁波的麥克斯韋方程可以以磁場H 或者電場E 形式來表達。
以電場形表示式其波動方程為：
---(1)
是計算區域的介電常數／磁導率。由於介質做週期性排列，其介電常數和磁導率也是週期性的。根據布洛赫定理，電場可以表達為週期性函式和自然指數乘積的形式，
---(2)
其中，ω 是電磁波的頻率，k 是布洛赫波矢，u(x) 是週期性向量函式，將方程 (2) 帶入方程 (1) 我們可以得到的等價方程：
---(3)
在此PDE 方程兩邊乘上任意函式 ，對兩邊在感興趣的區域Ω 內做積分轉化為積分方程形式。與有確定解u 不同，有大量不同的函式 解滿足積分方程的形式，所以函式 在這裡又被稱為」試函式」。試函式在弱形式的有限元求解方法裡起了關鍵作用。
有限元方法是基於在滿足方程和邊界條件的情況下，對感興趣的區域Ω 弱形式進行積分並將積分設為 0 從而進行求解。
---(4)
n 為積分邊界的法向向量，在外邊界有方程(4) 的約束，對閉合區間Ω 內積分使得n*1/ε*(-ik*u+▽u) 為0。從方程(4) 可以知道n*E=0，這是完美電導體邊界條件。這是預設邊界條件，若無其他外加邊界條件則都設定為完美電導體邊界。
在內部邊界，電磁場要滿足連續邊界條件 ， ， 是內部邊界的兩側，u 的週期性則在原胞外邊界用週期性邊界條件約束。
而在二維電磁波方程中我們可以做進一步簡化成 ，作用在 和 上形成二維向量， 為試函式，所要求解為本徵值問題，令 、 ，而 ，為我們即將求解的二維布洛赫波矢，則方程(4) 可以簡寫為：
---(5)
而在將弱形式輸入COMSOL 時，只需將方程(5) 方括號中的值輸入即可。模擬區域是乙個原胞，邊界條件用週期性邊界條件，同樣將布洛赫波矢寫為 。
COMSOL 中未知函式（因變數）u 及試函式v 的函式表達如下：未知函式 u 表達為 u，▽u 寫為 在二維電磁波方程弱形式求解中，未知函式為 Ez， 為 ；類似的試函式v 及分量▽v 寫為 及 ，將弱形式方程輸入COMSOL 求解域的若干項中，便會自動進行求解運算，其每乙個子域可以有不同定義，COMSOL 將自動整合不同子域方程。
圖1. (a) COMSOL 中弱形式模組引數設定；(b) 原胞週期性邊界條件設定示意圖。
實際計算時，我們在 COMSOL 物理場中選擇弱形式求解模組如圖1(a) 所示，求解型別選擇本徵值求解，因變數定義為 Ez，繪製完相應光子晶體原胞結構（以圖1(b) 示意圖為例）後，其子域弱項都設定為weak，即弱形式方程，在全域性表示式中定義
即為二維TM 形式電磁波方程的弱形式表達。其中引數設定如表1 所示：
表 1. 引數設定。
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