1樓：雲淺知處
這不是早就被各種方法透爛了的套路題嗎qwq先說答案：當 時， 有最小值 。
1.第一次見到這種題的時候我才初一qwq
當時迷戀暴力計算，認為什麼都能直接算出來
於是我直接設 ，試圖用 表示出 ：
當時直接求導出來然後湊來湊去湊出來了 的乙個根寫了上去。
事實上，如果你學過柯西不等式：
（它的證明是很簡單的：
當且僅當 即 時取等。）
並且知道一些可愛的不等式變形技巧，你應該就會想到把上面的東西配一些係數，變成
化簡一下，並對兩個根式中的東西分別運用柯西不等式：
做完啦！
取等條件是什麼呢？ ，解得 。
因此，當 時， 有最小值 。
2.這裡是各種資料或者每個老師都會講的方法：
在平面內取點 使得。
那麼 的軌跡就是一條直線 。
事實上，這不就是「順相似」的乙個直接推論嘛qwq！
我們考慮兩對這樣的點 與 ：
因為 所以 。
從而有 ， 。
因此 又 ，故 。
這表明 ，即 。
結合 知 為定值。
這表明其軌跡上任意兩點 的連線 的傾斜角為定製，因此 的軌跡就是一條直線！
不難求出這個直線的方程就是 。
接下來就是一些簡單的計算啦qwq。
過 作 於 ，則有：
等號成立當且僅當 座標為 時。
3.再或者，我們做個對稱：
如果我們把 軸上方看作一種介質，下方看作另一種介質，光在這兩種介質中的傳播速度之比為 。
結合費馬原理及折射定律可以知道當 時 有最小值。
據此可以求出 ，此時 。
4.珂朵莉珂愛！！！！！111
2樓：數學愛好者
看答案湊出來的過程
做 ，使 （參考胡不歸的解題思路）。由瓜豆原理可得點 的軌跡是 。 做 ，然後由兩點之間直線最短和垂線段最短即可得到 。通過計算可以驗證取等條件均為當點 時。因此 。
如果說做點 關於 軸的對稱點 ，再連線 （參考將軍飲馬的思路）那麼就可以把圖想象成光路圖， 軸上方和 軸下方是兩種不同的介質，光線在點 和點 之間運動。題目求 ，將距離看為光走的路程，由 可以理解為光在 軸上方的介質運動的更快，是 軸下方的介質的兩倍。由費馬原理可以知道光總是走最短的路，因此由折射定律 可以求出點 的座標，進而求出最小值。
好像第一種幾何法是不能適用於所有情況的，兩個取等條件好像不是總是同時相等。
關於點 的軌跡，可以使用多種辦法求，這裡給出我個人認為比較易懂的證法。過點 做 軸的垂線，垂足為點C，在 軸上擷取一點 使得 。可得 ， 。（相當於把 軸的特殊情況畫出來了）
因為 ，所以兩角相等。由此可得 四點共圓。因此 。因此 。可得 ，且直線過 。因此點 的軌跡為
還可以通過過點 做 軸的垂線，通過相似來求軌跡。但是需要一些代數上的處理，雖然容易想到，但需要一些計算，個人認為在速度上不如上面這種解法
3樓：Grassnature
假如把題目變成PA+PB的最小值，那就很簡單了，做A關於x軸的對稱點，然後兩定點間直線段最短。
很不幸題目不是這樣簡單。方法上比較好理解的是用數學分析求函式最值。
橫座標為x，設距離函式f(x)=sqrt(x^2+1)+2sqrt( (x-3)^2+2^2 )。求導得f'=x/sqrt(x^2+1)+(2x-6)/sqrt( (x-3)^2 + 2^2 )，然後解f'(x)=0，化簡得到四次方程x^4-6x^3+9x^2-8x+12=0。
顯然取最小值時x一定在區間(0,3)內，用數值計算中的演算法去逼近該四次方程在區間(0,3)上的解即可。當然也可以寫成很複雜的四次方程的根式解。
在區間(0,3)上方程唯一解為2 。
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