1樓：張智浩
首先這個問題表述確實不大清楚，至少不是嚴格的數學語言（或者說不大精確）。我把問題重新表述如下（此處快速回憶範疇的定義，略；或可參見維基百科）：
性質 ()對任意三個物件 ，復合對映 是同構。
不精確的問題：若乙個範疇滿足性質()，我們能對它說些什麼嗎？
從某些（可能沒用的）經驗來看，這種問題一般就取特殊值就完了。
首先把()中三個物件都取為同乙個 ，那麼復合對映 是同構。且先不論這個同構是什麼，僅僅是存在這樣乙個同構就告訴我們，集合 只有可能
是空集；
是單點集；
是無限集。
（不過很快會看到這個論斷其實沒什麼意義）
首先第一種情況是不可能的，因為單位態射 。第三種情況也是不可能的，範疇的定義告訴我們 加上上述復合對映與 是乙個么半群(monoid)，故可從下述論斷中看出：
Claim.若乙個么半群 含有多於乙個元素，則乘法對映 不可能是同構。
Proof.這意思是 除了包含單位元 至少還有另乙個不同的元素 ，那麼 ，故乘法對映不是單射。
所以 只含有乙個元素，即單位態射 。
再把()中三個物件的某兩個取成相同的。易見取 或 時是平凡的，什麼也沒說。當取 時，有復合對映 是同構。
僅僅是存在這個同構就告訴我們，所有的 也必須是單點集。
結論：滿足性質 () 的範疇必定所有 hom set 都是單點集，即對任意兩個物件，存在唯一從到的態射。
2樓：parker liu
在範疇C中，其物件a，b，c，和態射p: a -> b，q: b -> c的compose是態射r:
a -> c，態射r = q . p，這個是從範疇的定義來的。任何範疇的態射的組合都應遵循這個定義。
至於題主提到的組合，我覺得是不存在的，(p, q)如何成為 a 到 c 之間的態射呢？
按積範疇的觀點，態射(p, q)是積範疇 C X C的態射，其定義為(p, q) : (a, b) -> (b, c)，這裡(a, b) 和 (b, c)都是積範疇 C X C中的物件。
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