1樓：mcxzx
張量密度就是乙個將體元對映到乙個k,l型張量的齊次對映，齊次的次數就是密度的權：
這裡體元就是反映"塊"面積/體積/測度大小的量，張量密度隨著它變化而變化。
假設有 維流形 。令 代表流形 上的全體光滑(k,l)型張量場， 代表 上的全體體元(n-形式)。注意所有體元之間只差乙個標量場。
那麼乙個權為 的 型的張量密度 實質上就是乙個對映：
並且 ， 。
模擬張量是乙個關於向量與對偶向量的多線性對映
當給每個張量的輸入槽裡輸入座標基矢時，我們就得到了相應的座標分量：
。而張量密度則是乙個齊次對映，在給它的輸入槽裡輸入體元時，我們就得到了它在相應體元下的密度"分量"——乙個張量。
如果我們給每個座標系都繫結乙個體元：
此處就把塊自然地繫結為座標系的微元，那麼繫結的體元自然就反映了座標系微元的面積/體積/測度大小(根據定義)，一切都不是突然的。
，那當在座標變換時，座標系對應體元也相應改變， ， 代表座標變換矩陣 的行列式(雅可比行列式，反映了新舊座標系微元大小的變化)。那麼在新座標系下張量密度的分量即為： ，就是題主的定義。
當在流形上給定度規 後，自然就給定了適配體元，我們將其記作 。那麼在任意乙個座標系 下適配體元都可以寫為： ，其中 代表度規在此座標系下的分量的行列式的絕對值(注意此物是適配體元，是張量)。
設 ，那麼在其他座標系中此張量密度的分量張量即為： ，不少其它文獻則採用此定義作為張量密度的定義式。
以上定義出的張量密度都是等價的，也都反映了相同的動機與"哲學"思想，我個人更喜歡"輸入體元給出張量"的定義，延續了抽象指標幾何語言對分量與不變數嚴謹區分的優良傳統。
至於座標系體元，你可以適配體元乘上乙個 ： ，這樣每個座標系的體元實際上共同構成了乙個權為-1的張量密度場。也就是題主書中所說的內容。
並且所有權為0的張量密度場就是張量場(和體元無關)。
還可以像張量定義協變導數一樣定義對於張量密度協變的李導數與無撓導數。此處就不細講了。
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