1樓：kluo
針對「發散級數求和法」，在物理中是否有系統而深刻的應用我並不了解。本回答僅對題述引力勢能問題做一簡單分析。
所謂「在三維歐氏空間中點(k,0,0)處均放置有單位質量的質點」，就是乙個一維單質點鏈，相鄰質點間距為1個單位，相互作用力為引力。
原點處的質點，受到左右兩側其它質點對稱的引力，其勢能可寫為
這個勢能趨於負無窮大。
為了看出這個發散級數的物理意義，這裡先插播乙個類似的問題：
考慮乙個一維電荷鏈，相鄰的兩電荷距離為 ，電性相反且所帶電量為1個單位，相互作用力為庫倫力。庫倫常數取為1。
這就是一維的離子晶體模型。現在來考慮原點處電荷的庫倫勢能
這個勢能是收斂的，其中馬德隆常數
如果不考慮其它作用，變小時庫倫吸引勢能 總是可以繼續減小，於是這個一維電荷鏈將逐漸縮短，不存在穩態。(注意：雖然前面求馬德隆常數的前提是電荷個數無窮大，但實際仍認為這個電荷鏈中電荷個數為足夠大的N)
然而，當 足夠小，在真實的物理世界中，量子效應將會逐漸顯現，泡利不相容原理會帶來乙個排斥能(不妨認為這裡的電荷載體是費公尺子，比如電子和正電子)
(m通常遠大於1，例如在Lennard-Jones勢中取m=12)
由此，原點處電荷總的勢能為
該勢能的一階導數有零點
對應乙個極小值點
意味著該一維電荷鏈有可能以 的間距穩定存在。
現在我們回過頭考察一維質點鏈的引力吸引勢 , 一方面它是發散的，另一方面在大尺度空間上沒有有效的排斥勢可供引入。從這個角度來說，這個模型可以粗略解釋為什麼星空中的可觀測天體未被發現形成週期性排列的類晶體結構。
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