1樓：「已登出」
我猜，你想知道的是 cycle map
Let X be a smooth projective variety of dimension n.
Weil conjecture 刻畫了 的個數, 可以看作Frobenius的fixed points.
這個可以由 裡面對角嵌入 的像 和Frobenius 的graph 的像 相交得到，即 .
cycle map 是乙個從 X 的閉子集（algebraic cycle）到X的cohomology的對映，把相交映成 cup-product. 這裡相交是在 cycle 意義下說的，但在好的情況下，就是閉子集的相交。
現在我們有： 得到 和
和 這裡 是指餘維數是n的cycle，即餘維數是n的閉子集. 因為餘維數是2n 的閉子集就是有限個點， 我們可以證明 把這個閉子集映到其所含的點的個數（記重數）。
因為把相交映成 cup-product， 我們有
這時候計算點的個數就轉化成了計算cohomology的cup-product.
Lefschetz Trace Formula 是從這裡推出的。
但願這是你想知道的。
2樓：鑽石心不會受傷
我沒太搞清楚你想問什麼，不過仔細一想無論問什麼，這個問題太meta了，不太好回答。
首先 「Weil Conjectures刻畫的是一種數量關係 」，不知道你說的是有理性部分還是Riemann猜想的部分。
簡單地說，同調群刻畫的是拓撲，而「點」上的拓撲（同調群、璉，或者什麼都行）就是數量關係，比如說如果S是乙個點，S上的Chow群或者K群是同構於加法群Z的，所謂的數量關係都是在這個同構下得到的。
f=是乙個對映，你知道同調群通過對映給出了乙個關係，比如說如果是同倫的話，同調群也同構，而給出數量其實就是S是乙個點的情況，比如說來自於，這種相對觀點幾乎在Grothendieck之後立即就佔據了拓撲學的全部帶來了新的理解。（上面的對映給出了尤拉類，本質上其實給出Lefschetz跡公式也並不是問題，利用SGA5的方法，每個對映給出了乙個的閉子概形（對映的graph），然後考慮上到S的態射即可。）
至於Weil猜想的證明細節我想並不是你想知道的，不過本質上，按照Deligne Weil II的觀點，這東西就像是Zeta函式一樣，需要乙個傅利葉變換來證明。
在層匯出範疇上，利用上同調能定義Fourier變換，Fourier變換逆公式在Zeta函式上給出了函式方程，在Weil猜想上，對應著Poincare duality(給定乙個特徵標,和F相差乙個Tate扭，這是因為按照Poincare duality能化成，而對應於乙個delta函式，相當於乙個Possion求和），而黎曼猜想則對應於Plancherel公式。
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