1樓：
有乙個也許比較直觀的看法.
考慮 上的兩個層 和 , 可以知道存在對映 .
現在 是係數環的常層, 環的乘法給出 , 它誘導了上同調群間的對映.
你把這個對映和之前得到對映復合，就是奇異上同調/常層的上同調的cup product .
為什麼說這個比較直觀呢, 因為通過這個過程可以看到, 本質上乘法是第二個對映, 是環的乘法直接誘導的, 是係數在做乘法的結果, 而第乙個對映只需要同調代數/層論的一些操作就可以得到.
2樓：梁嘉誠
chain complex的coalgebra結構匯出上同調的algebra結構我們老師第一次講cup積就這麼講.. 然而一般人無法接受
3樓：Yuki Yuna
早期人們發現的最早的上同調理論就是在微分流形上面的deRham上同調，定義成閉微分形式/恰當微分形式。由於微分形式自然帶有乙個外積並且外導數是乙個導子，而且這個運算在微分同胚下不變，我們自然可以想象所有上同調理論都會帶有這樣乙個類似的乘法運算。
被乙個大V的回答喚起了一些古老的回憶。實際上學習代數拓撲的時候我們知道兩個解決乘積同調和上同調群的定理：Eilenberg-Zilber Theorem和Kunneth.
事實上上同調環的cup積就是直接由這兩個定理給出。
4樓：
對於後乙個問題，我的回答是「不」。CW復形很難是流形，而且也不是所有的流形都是CW復形。拓撲當中用到流形這個條件的時候我能想得到的是Poincare對偶，其他的時候我們更關心的是CW復形和它們的同倫等價空間.
在拓撲中基本不用區域性座標.
關於上同調的環，乙個非常非常簡單的原則是說，乙個物件擁有越多的結構就包含越多的資訊.上同調是包含乘法結構的，因而也自然有更多的資訊。比方說，乘法結構可以自然地證明 和 儘管有相同的上同調群，它們非同倫等價.
證明只要考慮兩個空間1-cell和2-cell的乘積.
上同調有乘法結構的原因很簡單，對空間 ，有對角線對映 ，因為上同調是反變函子，這個對映就誘導了 ，且這個對映與分次相容，於是這是乙個乘法.上同調有乘法這個事情在代數幾何當中也是非常非常重要.
5樓：
上同調和環都是反變函子。反變函子是對多對應（是對應，不是對映。對映是「對一」對應），用於表達集合中某個的元素的多種對應可能性。
上同調和環考察的也是「多種對應可能性」：拓撲的上同調考察的，是構成拓撲的全部胞腔在指定組合規則（係數Abel群）時，可以生成的新拓撲的各種可能；Abel群的上同調（即：環）考察的，是構成Abel群的全部元素在指定組合規則（環乘法）時，可以生成的新的元素的各種可能。
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