1樓：chris
莫培督原理(Maupertuis Principle)是分析力學中最為容易讓人感到迷惑的乙個最小作用量原理，Arnold曾在其著作《經典力學的數學方法中》引用joccobi的話稱述了這樣乙個觀點：「即便是這個世界上最好的力學書籍也難以正確、詳細、清晰、不帶任何含糊的描述清楚莫培督原理」，即便是Arnold自己也沒有把握能把莫培督原理講述清楚，同時他還認為Landau的《力學》中給出的莫培督原理的證明並不是嚴格意義上的準確證明，只是一種正確的形式推導。也正因此，我也相信即便是在高手林立的知乎，也不存在有人能夠完全正確、不帶含糊的把莫培督原理的來龍去脈講述清楚（我不信知乎上有人的數學、物理修養能高於Arnold、Landau以及Jaccobi等大師）。
為什麼莫培督原理令人感到疑惑？按照我個人的理解，本質上原因就在於不好徹底搞清楚題主所提的問題中所講到的兩種變分的區別，也就是等時變分和非等時變分的區別。
考慮歐式空間 中定義在引數區間 上的曲線 以及與其無限小相近的同樣定義在 上的曲線 ，則我們定義曲線 的等時變分 為：
1)如果我們考慮與曲線 無限接近的另一條曲線，只不過這條曲線不只是在 上發生變動，而同時其引數區間 變動為 ，即由 上的引數曲線 變動為 上的引數曲線 ，其中 是引數區間 與 之間的長度差。根據上述定義不難發現，由於 和 的定義域區間並不相同，使用(1)式所定義式的變分：
2)並不能完全反映出 與 之間的所有區別，因此我們需要定義一種新的變分，同時考慮引數域區間上所發生的變動，也就是所謂的非等時變分（或者按照@2blove9s的答案中所給出的術語全變分），記為 ，其定義式為：
3)根據微積分對式(3)等式右端第一項 進行分析可知：
(4)由於式(4)的展開式的最後一項 為二階小量，當我們考慮無窮小變動時該項可以忽略，即式(4)可以近似為：
5)最後將式(5)代入式(3)便可得非等時變分 的具體展開式為：
6)該式即為 @2blove9s 的答案所介紹的全變分。可以看出，非等時變分比等時變分多出了乙個項 ，用於反映由於引數區間發生改變對曲線變動的影響程度。
根據拉格朗日力學的基本知識我們有，對於理想完整約束的保守力學系統，若已知固定的起始和終止點 、 則系統的動力學規律將滿足Hamilton最小作用量原理，即：
7)如果系統的拉格朗日函式不顯含時間 (即系統為定常系統)，則根據拉格朗日力學的基本知識我們還可得知系統的能量沿動力系統的解的積分曲線上將保持不變，假設滿足問題(7)的解曲線 ，，為如果我們記此時動力系統的解的能量大小為 ，則不難得出：
8)於是在動力系統的解的積分曲線上，作用量可以表達為：
9)注意式(9)只在滿足(7)的解曲線上成立，我們並不知道能量 的具體值到底有多大，只是知道在積分區間 範圍內始終為乙個恆定的值。
為了解決這個容易產生誤解的問題，我們就必須想方設法把(13)式中的時間和 用別的非時間參量進行替代，為此考慮到動能的表示式為：
14)並且注意到：
15)將(14)、(15)式代入(13)式中可得
(16)
(16)式即為莫培督原理的數學表達形式，這個形式用變數 取代了時間 ，解決了萊布尼茲作用量原理所存在的令人難以理解的困惑。
哈密爾頓最小作用量原理：
17)是一種等時變分。
而莫培督原理：
18)是一種非等時變分。
2樓：桜語
位形時空是s+1維的，將q和t都看做引數τ的函式，即q=q(τ)，t=t(τ)，滿足δτ=0。
位形空間是s維的，將引數方程消去引數τ，使q直接變成t的函式，即q=q(t)，滿足δt=0。
變數不同使得變分規則不同，就在位形空間引入全變分記號△（可以聯想多元函式的全微分）區別等時變分記號δ，使位形時空等τ變分等於位形空間非等t變分。
即δq(τ)=△q(t)=δq(t)+(dq/dt)△t對t的全變分就是△t=δt(τ)。
3樓：李德甲
x1->x2,lim(y(x2)-y(x1)):這個是微分。
y1->y2,lim(y2(x)-y1(x)):這個是變分。
下邊2個叫變化：
y(x2)-y(x1)=Δy
y2(x)-y1(x)=Δy
為什麼最小作用量原理如此重要？
最小作用量原理換個說法就是，如果有乙個方程，就能把這個方程轉化成別的形式。在這個過程中，並沒有產生新的資訊，新的關係，因為數量關係已經內蘊在已有的那個方程裡了。 M Spectre 另另，這本書很棒，但各種小錯誤實在不忍直視啊 可以網上搜作者的勘誤表 但不全 希望趕緊出第二版啊 勘誤表 Errata...
薛丁格方程能從最小作用量原理匯出嗎
雷格朗日運動力學 可以說可以吧 薛丁格方程一般寫在左邊的哈密爾頓表示式 H p 2 2m V 是從最小作用量EL式出來的但是p，E和V對應的算符應該就不能從EL中的出來了。H e p eA 2 m 2 1 2 也是可以從最小作用量得出 c 1簡化了 可以寫作 E e 2 p eA 2 m 2也就是狄...