1樓：C.Jie
現代幾何是個很大的分支，微分幾何，代數幾何(其實這個算不算是幾何，我學識淺薄不太確定，聽前輩介紹，現代代數幾何發展已經遠遠超出一般人對代數簇的認識了)，復幾何，辛幾何等等
分支不同，研究的物件也不同，所用的工具和語言，技術也有差別，所以這麼大致地一說幾何，以我粗淺的學識，還真不知道怎麼給出建議，下面就我學過的一些東西，給出一些看法吧，如有不對，望指正。
首先，最基本的，數學分析(高等數學or微積分)，線性代數這是最基礎的，沒有這兩個，簡直沒法起步。
然後我的學習路徑是，微分流形，我用的是Lorning.W.Tu的《introduction to manifold》這本書只需要初等的微積分(多元微積分，特別是隱函式定理)和線性代數就行了，附錄部分補充了部分需要的點集拓撲概念，主要是嚴謹地定義拓撲空間，開集，可數基，連通性這些東西，個人看法，其實點集拓撲一開始並不需要學太多，如果你是初學幾何，往往用到的都是一些基礎的概念，點集拓撲充當的更多是語言的作用，當然隨著學習的深入，再慢慢補充總是有好處的。
學習流形理論，主要是光滑的流形是後面學習很多其它幾何的基礎，例如黎曼幾何就是光滑流形+黎曼度量，學習代數拓撲，微分拓撲這些，有了對一些常見幾何物件如，S^n,D^n,RP^n,T^n的認識，便於理解。
然後就是復分析了，多值函式與黎曼面，柯西積分公式，從「數洞」到平面區域的同調和上同調，環繞數與向量場的隱射度，解析函式的延拓與層的概念，個人感覺復分析真的很有用，也很優美，在學習了基本的復分析知識後，看看阿爾福斯的《復分析》和尼達姆的《復分析可視方法》絕對有幫助.
然後就是抽象代數了，有前輩說過，代數學的越多，學習的路徑就越寬越廣，後面感覺真的是這樣，不學代數，以後真的能做的東西就很受限了。了解最基本的群，環，域，模這些概念。
然後再學習一些基礎拓撲，了解諸如基本群這樣一些概念。
然後就是代數拓撲，這是了解幾何物件的大範圍性質所必須得工具，比如poincare-hopf定理，gauss-bonet定理，區域性與整體相互糾纏。學習基礎的基本群計算，同調與上同調，比如奇異同調，de rahm上同調，Lorning W.tu的流形導論後幾章都是在講de rahm上同調，寫的還不錯。
如果想學偏分析的幾何，這個我不是很懂，那基礎的常微分方程，偏微分方程，泛函分析，實分析這些分析的基礎總是需要的，這些大概得想法是從區域性入手，把一些幾何上的關係在區域性座標下寫出來，往往是一些方程(組)，通過了解這些方程的結構，解來了解幾何的性質。
剩下的諸如李群，李代數及其表示，我沒有學過太多就不班門弄斧了，說了這麼多，這些大概是學幾何所必備的一些知識了，差不多都是入門級，想學的分支不同，還需要進一步學習其它工具。
感覺學幾何的下限還是很低的，但幾乎上線很高，具體的我也不太懂，就補充到這裡了
2樓：汪湜
下限有，上限沒有。學數學是一輩子的事情，其實這一點我也是最近才慢慢體會到的。
比如說微分幾何，需要知道的代數的下限甚至只是線性代數，你什麼代數都不學也可以做研究。很多幾何分析，pde的問題，你熟練掌握分析技巧，比如不等式估計，分部積分…照樣可以做出很好的結果。但是缺乏代數工具，你能做的問題就會很侷限，比如說如果你不會群論，那麼你就做不了很多幾何聯絡拓撲的很多很有意思的問題，你會盡量避免流形上的群作用。
如果你不會李群李代數，不會表示論，你可能就做不了關於對稱空間或者齊性空間裡面的一些問題，你就讀不懂劉宇航大V的文章。。。其實目前我的代數技能樹也就點到這裡。所以，由於我不懂同調代數，我就失去了群(上)同調的代數計算技能，由於我不懂代數幾何，我就不太能做複幾何。
由於我不懂數論，我就學不會Margulis那些算數群上的深刻理論。。。所以學到什麼程度就可以了？永遠沒有上限啊。。
我想代數幾何應該也是如此，當然我不懂，也不能亂說。
當然，明白了以上的邏輯之後，其實也就明白了乙個道理。學習和做研究是可以同時進行的，關鍵是要有足夠的信心和強大的動力。遇到了知識瓶頸就去學，不要因為不懂就害怕。
另外，遇到別的領域的colloquium talk也可以去多聽聽，這不是浪費時間，這是拓展知識面。多知道一點知識，做研究的時候有時候就多一條路。
3樓：叫我蘇蘇菲
我是幾何方向的，就拿我來說，我認為學習幾何你首先最基本的高代，解析幾何，常微分方程要學好才行，再學微分幾何，而微分幾何又是幾何裡比較簡單的課程，隨後可以學習黎曼幾何，這個我認為就比較難了，反正我是學渣看了黎曼幾何跟沒看一樣，真的學不下去，興趣最重要，它能支撐你學下去。
請問分析和幾何，代數有什麼區別與聯絡？
hindsights 我看到過一種說法是，分析研究的是無限次運算，代數研究的是有限次運算。更具體的說，分析研究的是變化，使用的工具是極限，通常用逼近的方式從已知的概念去推導或定義新的概念。例如，用有理數的序列去逼近得到無理數，並定義無理數的四則運算和冪運算以及指數運算。再如使用泰勒級數做區域性逼近和...
學習復分析需要哪些基礎？
你乙個學工科的學復分析幹什麼？看來題主並不知道復分析是什麼，工科本科不需要學復分析。你的要求是學好訊號與系統，所以現在拿本清華鄭君里的訊號與系統看就行了，只看上冊連續。所以我建議樓主把復變函式再複習一下 這個課總學過吧 然後把同濟高數裡面的傅利葉變換那一章搞清楚就行了。樓上有位說的好，你們工科的老師...
歐洲有哪些比較好的幾何與拓撲方向的研究生專案？
Yuhang Liu 如果你不是很在乎學校名氣的話，Munster不錯，我們領域的大佬Burkhard Wilking在那 說起來Wilking幾年前拿了一大筆經費，本來每年可以穩定地招博士後的，但是去年我申博後的時候那筆錢用完了。然後波昂自不必說。馬普所在萊比錫也有個數學所，但我不知道那邊招不招研...