1樓：列夫
上面Alex的答案很精彩，也可以這樣考慮，R[x,y]/m是R的代數擴域，所以只能是R或者C。
1，如果是R，那簡單，設x,y的像分別為a,b。顯然m=(x-a,y-b)。
2，如果是C，說明x,y的像至少有乙個落在C\R裡，從而有三種可能：
(i) x->a, y->c+di, d非0， 顯然m=( , ).
(ii) x->a+bi, y->c, b非0，顯然m=( , ).
(iii)x->a+bi,y->c+di.bd非0, 這種情況麻煩點，顯然
落在m裡面, 而R[x][y]/(f(x))=C[y], 只需再模去y-(c+di)即可，這裡把i表示為
帶入化簡可得m=(f(x),by-dx+(ad-bc)) 生成元是乙個一元二次多項式和一次二元多項式構成。
2樓：
其實你只需要考慮這樣乙個事情，對有限生成含么C代數A，熟知極大理想等價於到C的全體C代數-同態，亦即Hom(A,C)，這其實也算Hilbert零點定理的一種版本。
現在把C代數換成R代數，其實你只要同樣考慮Hom(A,C)，（也就是你只要考慮X，Y映成什麼複數）然後把能生成同樣極大理想的賦值對映拿出來分開考慮就行。容易發現這等價於考慮Galois群作用。
3樓：Alex
令 為 的極大理想， 為嵌入影射， 為 生成的理想。則有誘導影射
。一定是 的field extension, 所以只可以是 或 。另外， 是乙個complexification（即 ）。
若 ，則 。所以 是極大理想。根據Hilbert Nullstellensatz,
。另外由於 源自實理想 ，所以 。
2. 若 ，則 。換句話說， 的vanishing set 是 的兩點。
(注： 只有兩個極大理想，所以 只有兩個極大理想 和 。由於 的極大理想的集合（即 ）和 裡包含 的極大理想的集合又一一對應，所以在 裡只有兩個包含 的極大理想 和 .
根據Hilbert Nullstellensatz， 和 的vanishing set 分別都是一點。所以 的vanishing set一共有兩點)
另外由於源自實理想 ，這兩點必互為共軛。可以是
甲. 。則
乙. 類似地， 可以是 （對應vanishing set ）
丙. 和 ， 。這時
(容易證明 亦可寫作 )
以上為的極大理想所有可能的形式。
注：在甲類，若 ，則 。所以 不是極大理想。
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