1樓：
首先，每乙個整數自己就是有理數，所以有理數個數大於等於整數個數。
其次，每乙個有理數都能寫成互質的p/q，並能被對映 單射至乙個整數。所以整數的個數大於等於有理數個數。
所以有理數個數等於整數個數。
2樓：Tastror
修改．建立有序數列
不妨寫成
使它對應整數
利用最簡分數的對映
，就可以構造出乙個從有理數到整數的單射．
於是，所有有理數 都能找到唯一且不重複的整數 與它對應．但注意到，有整數卻沒有有理數對應它，比如 和 ．因此，有理數集的元素個數至多和整數集相同．
同時，注意到 又可以建立整數到有理數的單射，於是整數集的元素個數至多與有理數集相同．
綜上，根據施洛德-伯恩斯坦定理，可知整數集合與有理數集合元素數量相等，即整數與分數數量相等．
（以下為 版本，有漏洞）
類似書上所述，建立有序數列
，推論 1：序列中未劃去的一定是最簡分數；任何最簡分數一定未被劃去．
證明：序列中未劃去的 一定是最簡分數．如果不是，則必然存在 1" eeimg="1"/>使得 ，此時 在 前出現，則 應當被劃去，矛盾．同時，任何最簡分數 一定未被劃去，否則必然存在 且有 1" eeimg="1"/>使 ， ，這與 最簡矛盾．
推論 2：該集合是無限集．
由推論 1 可知，形如 的元素絕對不會被劃去．因此劃去後的集合必然包含無限子集 ，因此它也是乙個無限集．
由以上推論得，劃去後的集合
滿足：任何有理數中的元素都屬於該集合，且任何該集合的元素都屬於有理數集．因此它等價於有理數集 ．
現在，為該集合的每個元素編號 ；考慮整數集合 ，為每個元素編號
因此可以建立乙個對映關係 ，其中 定義為 ．則易知， 是一一對映，因此整數集和有理數集的勢（「數量」）是相等的．事實上，有理數集 是乙個可數集．而可數集和自然數集都是等勢的．
證畢．在無限集中的「數量」稱作勢或者基數．兩集合等勢，實際上是指兩集合之間存在一一對映的對應關係．這樣理解「數量相等」會容易一點．
3樓：WRazor
證明無限集合所含元素個數相等（等勢）的方法是建立乙個兩個集合之間的一一對應的對映關係，在你的例子裡就是想辦法把這些分數按某種方法乙個不少的排列出來，就可以證明啦
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